Question

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции y=f (x) на заданных промежутках f (x)=корень из 2-x-x^2, [1;0]помогите пожалуйста не могу решить

Answer 1

Решение во вложении.............

Answer 2

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $y = f(x) = \sqrt{2-x-x^2}$ на заданном промежутке $[0, 1]$, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти критические точки функции внутри данного промежутка.
2. Проверить значения функции в критических точках и на границах промежутка.
3. Определить, какое из этих значений является наибольшим, а какое наименьшим.

Давайте начнем с первого шага:

1. Найти критические точки функции: Критические точки соответствуют значениям $x$, где производная функции равна нулю или не существует.

Сначала найдем производную функции $f(x)$: $f'(x) = \frac{d}{dx} \sqrt{2-x-x^2}$

Далее, приравняем производную к нулю и решим уравнение: $f'(x) = 0$

2. Проверить значения функции в критических точках и на границах промежутка: Вычислим значение функции $f(x)$ в критических точках и на границах промежутка $[0, 1]$.

3. Определить наибольшее и наименьшее значения функции: Сравним значения функции из шага 2, чтобы определить наибольшее и наименьшее значение на данном промежутке.

Давайте выполним вычисления:

1. Найдем производную функции $f'(x)$: $f'(x) = \frac{d}{dx} \sqrt{2-x-x^2} = \frac{1}{2\sqrt{2-x-x^2}} \cdot \frac{d}{dx} (2-x-x^2)$

$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{2-x-x^2}} \cdot (-1 - 2x)$

2. Решим уравнение $f'(x) = 0$: $\frac{1}{2\sqrt{2-x-x^2}} \cdot (-1 - 2x) = 0$

Учитывая, что корень никогда не равен нулю, так как мы работаем в области $[0, 1]$, мы можем проигнорировать знаменатель и решить уравнение:

$-1 - 2x = 0$ $2x = -1$ $x = -\frac{1}{2}$

Таким образом, единственная критическая точка на промежутке $[0, 1]$ - это $x = -\frac{1}{2}$.

3. Вычислим значения функции в критических точках и на границах промежутка:

• При $x = 0$: $f(0) = \sqrt{2-0-0^2} = \sqrt{2}$.
• При $x = 1$: $f(1) = \sqrt{2-1-1^2} = \sqrt{0} = 0$.
• При $x = -\frac{1}{2}$: $f\left(-\frac{1}{2}\right) = \sqrt{2-(-\frac{1}{2})-(-\frac{1}{2})^2} = \sqrt{2+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}$