Question

Интеграл 2x+3/x²+2x+2dx

Answer 1

Если так ((2x+3)/(x²+2x+2))dx, то решение в скрепке.  

Answer 2

Для решения этого интеграла, нужно разложить дробь на простые дроби. Интеграл имеет следующий вид:

∫(2x + 3)/(x² + 2x + 2) dx

Сначала проведем разложение на простые дроби. Предположим, что исходная функция может быть представлена в следующем виде:

(2x + 3)/(x² + 2x + 2) = A/(x + i) + B/(x - i)

где A и B - коэффициенты, которые нужно определить. i - мнимая единица (корень из -1).

Теперь сложим дроби:

(2x + 3)/(x² + 2x + 2) = (A(x - i) + B(x + i))/((x + i)(x - i))

Теперь у нас есть равенство коэффициентов при одинаковых степенях x:

2x + 3 = A(x - i) + B(x + i)

Раскроем скобки:

2x + 3 = (A + B)x + (-Ai + Bi)

Теперь сравниваем коэффициенты при x:

A + B = 2 -Ai + Bi = 3

Из первого уравнения находим A:

A = 2 - B

Теперь подставим A во второе уравнение:

• (2 - B)i + Bi = 3

Упростим:

-2i + Bi + Bi = 3

2Bi - 2i = 3

Теперь выразим B:

2Bi = 3 + 2i

B = (3 + 2i) / 2i

B = (3/2)i + 1

Теперь найдем A:

A = 2 - B

A = 2 - [(3/2)i + 1]

A = 2 - 1 - (3/2)i

A = 1 - (3/2)i

Таким образом, разложение на простые дроби будет следующим:

(2x + 3)/(x² + 2x + 2) = (1 - (3/2)i)/(x + i) + ((3/2)i + 1)/(x - i)

Теперь, чтобы интегрировать каждую дробь, используем логарифмические функции.

∫(1 - (3/2)i)/(x + i) dx + ∫((3/2)i + 1)/(x - i) dx

∫(1 - (3/2)i) / (x + i) dx = (1 - (3/2)i) * ln|x + i| + C1, где C1 - постоянная интегрирования.

∫((3/2)i + 1)/(x - i) dx = ((3/2)i + 1) * ln|x - i| + C2, где C2 - постоянная интегрирования.

Таким образом, окончательный результат интеграла:

∫(2x + 3)/(x² + 2x + 2) dx = (1 - (3/2)i) * ln|x + i| + ((3/2)i + 1) * ln|x - i| + C,

где C = C1 + C2, общая постоянная интегрирования.