Question

Найдите экстремумы функции y= x^3-6x^2+12x

Answer 1

$y=x^3-6x^2+12x\\y'=3x^2-12x-12\\y'=0=>3x^2-12x-12=0x^2-4x-4=0(x-2)^2=0=>\\=>x=2$

Answer 2

Для нахождения экстремумов функции y = x^3 - 6x^2 + 12x, следует использовать производные. Экстремумы функции находятся там, где производная функции равна нулю или не существует.

Шаг 1: Найдем производную функции y по переменной x: y' = d/dx (x^3 - 6x^2 + 12x)

Используем правила дифференцирования: y' = 3x^2 - 12x + 12

Шаг 2: Найдем точки, где производная равна нулю: 3x^2 - 12x + 12 = 0

Шаг 3: Решим квадратное уравнение: Для удобства, поделим уравнение на 3: x^2 - 4x + 4 = 0

Теперь решим уравнение с помощью квадратного корня или путем факторизации: (x - 2)(x - 2) = 0

Таким образом, получаем: x = 2 (корень кратности 2)

Шаг 4: Найдем вторую производную функции y по переменной x: y'' = d/dx (3x^2 - 12x + 12)

y'' = 6x - 12

Шаг 5: Определим характер экстремумов, используя вторую производную: Подставим найденные значения x = 2 во вторую производную:

y''(2) = 6 * 2 - 12 = 0

Если вторая производная равна нулю, это означает, что тест второй производной не дает ответа о характере экстремума.

Шаг 6: Ответ: Таким образом, функция y = x^3 - 6x^2 + 12x имеет экстремумы в точке x = 2. Для определения характера этих экстремумов необходимо провести дополнительное исследование, а именно, анализ знака первой производной в окрестностях x = 2 или использование теста второй производной.