Question

Докажите что уравнение (x^2-2x+4)(x^2-x+5/4)=3 не имеет корней

Answer 1

(x²-2x+4)(x²-x+5/4)=3|·4

(x²- 2x + 4)(4x²- 4x + 5) = 12;

(x²- 2x + 1 + 3)(4x²- 4x + 1 + 4) = 12;

((x - 1)² + 3)((2x - 1)²+ 4) = 12.

Поскольку (x - 1)² + 3 имеет наименьшее значение 3, а (2x - 1)²+ 4 - нименьшее значение 4, то их произведение принимает наименьшее значение 3 · 4 = 12.

Значит равенство ((x - 1)² + 3)((2x - 1)²+ 4) = 12 возможно только при условии, что (x - 1)² = 0 и (2x - 1)² = 0. А поскольку не существует такого значения х, при котором одновременно (x - 1)² = 0 и (2x - 1)² = 0, то данное уравнение не имеет решений.

Answer 2

Для доказательства того, что уравнение (x^2 - 2x + 4)(x^2 - x + 5/4) = 3 не имеет корней, мы будем использовать метод исключения корней. Для этого предположим, что уравнение имеет корень x = a, где a является действительным числом.

Теперь рассмотрим первый множитель уравнения: x^2 - 2x + 4. Подставим x = a в это выражение:

(a^2) - 2a + 4.

Теперь рассмотрим второй множитель уравнения: x^2 - x + 5/4. Подставим x = a в это выражение:

(a^2) - a + 5/4.

Теперь уравнение станет:

((a^2) - 2a + 4) * ((a^2) - a + 5/4) = 3.

Раскроем скобки:

(a^2)(a^2) - (a^2)a + (a^2)(5/4) - 2a(a^2) + 2a^2 - 2a(5/4) + 4(a^2) - 4a + 5 = 3.

Упростим:

a^4 - a^3 + (5/4)a^2 - 2a^3 + 2a^2 - (5/2)a + 4a^2 - 4a + 5 = 3.

Теперь объединим все члены и уравняем с нулем:

a^4 - 3a^3 + (13/4)a^2 - (13/2)a + 2 = 0.

Теперь допустим, что уравнение имеет корень x = a. Тогда мы знаем, что (x - a) является его делителем, и мы можем разделить уравнение на (x - a):

(a^4 - 3a^3 + (13/4)a^2 - (13/2)a + 2)/(x - a) = 0.

Теперь у нас есть частное от деления. Поскольку мы предположили, что уравнение имеет корень x = a, то это частное должно быть равно нулю. Подставим x = a в частное:

(a^4 - 3a^3 + (13/4)a^2 - (13/2)a + 2)/(a - a) = 0.

Однако, заметим, что в знаменателе у нас получается 0. Поскольку деление на ноль запрещено, это означает, что наше предположение было неверным, и уравнение не может иметь корней.

Таким образом, уравнение (x^2 - 2x + 4)(x^2 - x + 5/4) = 3 не имеет действительных корней.