Question

Помогите пожалуйста найти производную сложных функций. 1)f(x)=^4√(12x^3-4x+5)^6

Answer 1

1. а) f'(x)=12-3x^2;

3x^2=12;

x^2=4;

x=+-2;

Ответ: -2, 2.

б) f'(x)=1-√2sinx;

sinx=1/√2;

x=π/4+2πk;

x=5π/4+2πk;

Ответ: π/4+2πk; 5π/4+2π.

2) f'(x)=24-6x-3x^2;

3x^2+6x-24=0;

x^2+2x-8=0;

x=-4;

x=2;

Ответ: Возрастает на (-бескон; -4)u(2; +бескон)

Убывает на (-4;2)

3) f'(x)=

x^2+2x-3=0;

x=-3;

x=1;

x≠-1;

Ответ: ymin=-3, ymax=-1; ymin=1

4) g'(x)=-2-3x^2-28x^6;

28x^6+3x^2+2=0;

Данное задание, признаюсь, не знаю как доказать. Производную я вам вычислила, а дальше не знаю.

Answer 2

Для нахождения производной функции $f(x) = \sqrt[4]{(12x^3 - 4x + 5)^6}$ требуется применить правило дифференцирования сложной функции (цепного правила).

По цепному правилу производная сложной функции $y = u^n$ вычисляется как $y' = n \cdot u^{n-1} \cdot u'$, где $u$ - внутренняя функция, а $n$ - показатель степени.

В нашем случае $u = 12x^3 - 4x + 5$ и $n = \frac{1}{4}$, и производная будет равна:

$f'(x) = \frac{1}{4} \cdot (12x^3 - 4x + 5)^{\frac{1}{4} - 1} \cdot (12 \cdot 3x^2 - 4)$

Упростим:

$f'(x) = \frac{1}{4} \cdot (12x^3 - 4x + 5)^{-\frac{3}{4}} \cdot (36x^2 - 4)$

Таким образом, производная функции $f(x)$ равна $\frac{36x^2 - 4}{4 \sqrt[4]{(12x^3 - 4x + 5)^3}}$.