Question

Решите тригонометрическое неравенство: sin^4 x- cos^4 x ≤ 0 Максимально подробно, пожалуйста, Даю 69 баллов!

Answer 1

Решение во вложении.

Answer 2

Конечно! Давайте решим это тригонометрическое неравенство пошагово:

Исходное неравенство: sin^4(x) - cos^4(x) ≤ 0

Для начала, заметим, что мы можем переписать sin^4(x) и cos^4(x) с использованием тригонометрической тождества: sin^2(x) = 1 - cos^2(x)

Теперь подставим эту формулу в исходное неравенство: (1 - cos^2(x))^2 - cos^4(x) ≤ 0

Раскроем квадрат: (1 - 2cos^2(x) + cos^4(x)) - cos^4(x) ≤ 0

Упростим: 1 - 2cos^2(x) + cos^4(x) - cos^4(x) ≤ 0

Теперь скомбинируем одинаковые слагаемые: 1 - 2cos^2(x) ≤ 0

Теперь перенесем все слагаемые на одну сторону неравенства: 1 ≤ 2cos^2(x)

Далее, разделим обе стороны на 2: 1/2 ≤ cos^2(x)

Теперь возьмем квадратный корень от обеих сторон (учитываем, что cos^2(x) неотрицательно): √(1/2) ≤ cos(x)

Так как √(1/2) ≈ 0.7071, то это неравенство можно переписать как: 0.7071 ≤ cos(x)

Теперь найдем интервалы, на которых это неравенство выполняется. Так как значение cos(x) изменяется в пределах [-1, 1], нам интересны значения, которые больше или равны 0.7071.

Вспомним, что cos(x) ≥ 0.7071 означает, что угол x лежит в одном из следующих интервалов:

1. x ∈ [0, π/4]
2. x ∈ [7π/4, 2π]

Таким образом, решением исходного тригонометрического неравенства sin^4(x) - cos^4(x) ≤ 0 является объединение этих интервалов:

x ∈ [0, π/4] ∪ [7π/4, 2π]