Question

Найти производную функции y= e^-x(1+x^2) при x=1 решите пожалуйста

Answer 1

у=е^-1(1+1^2)=е(1+1)=2е

Answer 2

Для нахождения производной функции $y = e^{-x}(1+x^2)$ по $x$, используем правила дифференцирования. Затем подставим значение $x = 1$ для нахождения производной в точке $x = 1$.

Шаг 1: Найдем производную функции $y = e^{-x}(1+x^2)$ по $x$.

Для упрощения дифференцирования, воспользуемся правилом произведения и правилом сложной функции.

Правило произведения: $(uv)' = u'v + uv'$. Правило сложной функции: $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.

Пусть $u = e^{-x}$ и $v = (1 + x^2)$.

Тогда:

$u' = \frac{d}{dx}(e^{-x}) = -e^{-x}$ (производная степенной функции $e^{-x}$ равна самой функции с минусом). $v' = \frac{d}{dx}(1 + x^2) = 2x$ (производная линейной функции $1 + x^2$ равна $2x$).

Применяем правило произведения:

$y' = u'v + uv' = -e^{-x}(1 + x^2) + e^{-x} \cdot 2x$.

Шаг 2: Найдем значение производной $y'$ в точке $x = 1$:

$y'(x) = -e^{-x}(1 + x^2) + 2x e^{-x}$.

Подставляем $x = 1$:

$y'(1) = -e^{-1}(1 + 1^2) + 2 \cdot 1 \cdot e^{-1} = -e^{-1}(1 + 1) + 2 \cdot e^{-1} = -e^{-1} - e^{-1} + 2e^{-1} = e^{-1}$.

Ответ: Значение производной функции $y = e^{-x}(1+x^2)$ в точке $x = 1$ равно $e^{-1}$.