Question

Упростить выражение sin3a cosa + sina cos3a

Answer 1

по формуле складываем , это формула синуса

$sin(3a + a) = sin4a$

Answer 2

Чтобы упростить выражение sin(3a) cos(a) + sin(a) cos(3a), мы воспользуемся формулами тригонометрии для двойного и тройного угла:

1. Формула для двойного угла: sin(2a) = 2 * sin(a) * cos(a) cos(2a) = cos^2(a) - sin^2(a)

2. Формула для тройного угла: sin(3a) = 3 * sin(a) - 4 * sin^3(a) cos(3a) = 4 * cos^3(a) - 3 * cos(a)

Теперь подставим значения в наше исходное выражение:

sin(3a) cos(a) + sin(a) cos(3a) = (3 * sin(a) - 4 * sin^3(a)) * cos(a) + sin(a) * (4 * cos^3(a) - 3 * cos(a))

Теперь произведем раскрытие скобок и упростим выражение:

sin(3a) cos(a) + sin(a) cos(3a) = 3 * sin(a) * cos(a) - 4 * sin^3(a) * cos(a) + 4 * sin(a) * cos^3(a) - 3 * sin(a) * cos(a)

Мы можем объединить первые и последние два члена, так как они имеют общий множитель sin(a) * cos(a):

sin(3a) cos(a) + sin(a) cos(3a) = 3 * sin(a) * cos(a) + 4 * sin(a) * cos(a) - 4 * sin^3(a) * cos(a)

Теперь вынесем общий множитель sin(a) * cos(a):

sin(3a) cos(a) + sin(a) cos(3a) = (3 + 4 - 4 * sin^2(a)) * sin(a) * cos(a)

Мы можем заменить sin^2(a) на выражение 1 - cos^2(a) с использованием тригонометрической тождества:

sin(3a) cos(a) + sin(a) cos(3a) = (7 - 4 * (1 - cos^2(a))) * sin(a) * cos(a)

Теперь упростим скобки:

sin(3a) cos(a) + sin(a) cos(3a) = (7 - 4 + 4 * cos^2(a)) * sin(a) * cos(a)

sin(3a) cos(a) + sin(a) cos(3a) = (3 + 4 * cos^2(a)) * sin(a) * cos(a)

Таким образом, выражение sin(3a) cos(a) + sin(a) cos(3a) упрощается до (3 + 4 * cos^2(a)) * sin(a) * cos(a).