Question

Найти наибольшее значение функции f (x) = 2x^ 2 – x^ 4 + 6 на отрезке [– 2; 0].

Answer 1

f(x)=2x²-x⁴+6       [-2;0]

f(-2)=2*4-16+6=-2

f(0)=6

f'(x)=4x-4x³

4x(1-x²)=0     4x(1-x)(1+x)=0

x=0     x=1     x=-1

При  -∞<x<-1    f'(x)>0⇒возрастает

При -1<x<0   f'(x)<0 - убывает

При 0<x<1     f'(x)>0 - возрастает

При 1<x<∞     f'(x)<0 - убывает

⇒ x=1 и x=-1 - max

x=1 не входит в интервал [-2;0]

y(-1)=2-1+6=7⇒ymax=7

Answer 2

Для нахождения наибольшего значения функции f(x) на заданном отрезке [–2; 0], следует выполнить следующие шаги:

1. Найти критические точки функции f(x) на отрезке [–2; 0]. Критические точки - это точки, где производная функции равна нулю или не существует.
2. Определить значения функции f(x) в найденных критических точках и на границах отрезка [–2; 0].
3. Выбрать наибольшее значение из полученных значений.

Шаг 1: Найдем производную функции f(x) и приравняем ее к нулю, чтобы найти критические точки:

f(x) = 2x^2 – x^4 + 6

f'(x) = d/dx (2x^2) - d/dx (x^4) + d/dx (6) f'(x) = 4x - 4x^3

Теперь приравняем производную к нулю и решим уравнение:

4x - 4x^3 = 0

2x(2 - x^2) = 0

Таким образом, критическими точками являются x = 0 и x = ±√2.

Шаг 2: Теперь найдем значения функции f(x) в этих критических точках и на границах отрезка [-2; 0]:

f(0) = 2(0)^2 - (0)^4 + 6 = 6

f(-√2) = 2(-√2)^2 - (-√2)^4 + 6 ≈ 4.343

f(√2) = 2(√2)^2 - (√2)^4 + 6 ≈ 4.343

f(-2) = 2(-2)^2 - (-2)^4 + 6 = 14

Шаг 3: Теперь найдем наибольшее значение функции среди полученных значений: 14, 6, 4.343.

Наибольшее значение функции f(x) на отрезке [–2; 0] равно 14, и достигается при x = -2.