Question

Знайти похідну функції y=2x^7y=5x^4+cosxf(x)=x/x+2f(x)=x^2(3x^3+5)​

Answer 1

1. 14х^6

2. 20х^3 - sinx

3.

$\frac{x}{x + 2} = \frac{x + 2 - x}{ {(x + 2)}^{2} } = \frac{2}{ {(x + 2)}^{2} }$

Answer 2

Давайте знайдемо похідні для кожної з даних функцій за вказаними змінними.

1. Функція: y = 2x^7y = 5x^4 + cos(x) Для знаходження похідної цієї функції щодо змінної x, розділимо ці дві функції і отримаємо y в явному вигляді:

y = (5x^4 + cos(x)) / (2x^7)

Тепер знайдемо похідну y за x:

dy/dx = d/dx((5x^4 + cos(x)) / (2x^7))

Для знаходження похідної звернемо увагу на правило диференціювання дробової функції та використаємо правило ланцюгового правила:

dy/dx = (2x^7 * d/dx(5x^4 + cos(x)) - (5x^4 + cos(x)) * d/dx(2x^7)) / (2x^7)^2

Тепер знайдемо похідні окремих компонентів:

d/dx(5x^4) = 20x^3 d/dx(cos(x)) = -sin(x) d/dx(2x^7) = 14x^6

Підставимо їх назад у вираз для похідної:

dy/dx = (2x^7 * (20x^3 - sin(x)) - (5x^4 + cos(x)) * 14x^6) / (2x^7)^2

Спростимо вираз:

dy/dx = (40x^10 - 2x^7sin(x) - 70x^10 + 14x^6cos(x)) / (4x^14)

Зрештою:

dy/dx = (40x^10 - 70x^10 + 14x^6cos(x) - 2x^7sin(x)) / (4x^14)

Підсумовуючи, похідна функції y = 2x^7y = 5x^4 + cos(x) є:

dy/dx = (40x^10 - 70x^10 + 14x^6cos(x) - 2x^7sin(x)) / (4x^14)

2. Функція: f(x) = x / (x + 2) Для знаходження похідної f(x) за x, використаємо правило диференціювання дробової функції:

f'(x) = d/dx(x / (x + 2))

Застосуємо правило ланцюгового правила:

f'(x) = (1 * (x + 2) - x * 1) / (x + 2)^2

Спростимо вираз:

f'(x) = (x + 2 - x) / (x + 2)^2

f'(x) = 2 / (x + 2)^2

Зрештою:

f'(x) = 2 / (x + 2)^2

3. Функція: f(x) = x^2(3x^3 + 5) Для знаходження похідної f(x) за x, скористаємося правилом добутку та правилом степеневого диференціювання:

f'(x) = d/dx(x^2(3x^3 + 5))

Застосуємо правило ланцюгового правила:

f'(x) = (2x(3x^3 + 5)) + (x^2 * d/dx(3x^3 + 5))

Тепер знайдемо похідну доданку d/dx(3x^3 + 5):

d/dx(3x^3 + 5) = 9x^2

Підставимо знаходжену похідну доданку назад у вираз для похідної:

f'(x) = 2x(3x^3 + 5) + x^2 * 9x^2

Спростимо вираз:

f'(x) = 6x^4 + 5x^2

Зрештою:

f'(x) = 6x^4 + 5x^2

Підсумовуючи, похідні даних функцій є:

1. dy/dx = (40x^10 - 70x^10 + 14x^6cos(x) - 2x^7sin(x)) / (4x^14)
2. f'(x) = 2 / (x + 2)^2
3. f'(x) = 6x^4 + 5x^2