Question

СРОЧНО Доказать тождество2sin2α+cos( 3π /2 −α )−sin(π+α) / 1+sin⁡( 3π/ 2 −α )= −2sinα Подробно желательно.

Answer 1

$\frac{2\sin{2a}+\cos{(3\pi/2-a)}-\sin{(\pi+a)}}{1+\sin{(3\pi/2-a)}} =-2\sin{a}\\1.\cos{(3\pi/2-a)}=\cos{3\pi/2}*\cos{a}+\sin{3\pi/2}*\sin{a}=\\=0*\cos{a}-1*\sin{a}=-\sin{a}\\2.-\sin{(\pi+a)}=\sin{a}\\1.+2.=0\\3.\sin{(3\pi/2-a)}=\sin{3\pi/2}*\cos{a}-\cos{3\pi/2}*\sin{a}=\\=-\cos{a}-0*\sin{a}=-\cos{a}$

Объединим вычисления.

$\frac{2\sin{2a}}{1-\cos{a}} =-2\sin{a}\\\frac{2*2\sin{a}\cos{a}}{1-\cos{a}} =-2\sin{a}$

Как видно тождество верно не всегда, проще говоря это обычное уравнение, найдём знания а, когда это уравнение верное.

$\left \{ {{4\sin{a}\cos{a}=-2\sin{a}+2\sin{a}\cos{a}} \atop {1-\cos{a}\neq 0}} \right. \\\left \{ {{2\sin{a}\cos{a}+2\sin{a}=0} \atop {\cos{a}\neq 1}} \right.\\\left \{ {{2\sin{a}(1+\cos{a})=0} \atop {\cos{a}\neq 1}} \right.\\\left \{ {{a\neq 2\pi*n} \atop {\left[\begin{array}{ccc}x=\pi*k\\x=\pi+2\pi*k\\\end{array} }} \right.$

Ответ: a=π+2π*k, k∈Z.

Answer 2

Для доказательства данного тождества, начнем с левой стороны и преобразуем ее с помощью тригонометрических тождеств и идентичностей.

Выражение на левой стороне: 2sin^2(α) + cos(3π/2 − α) − sin(π + α) / (1 + sin(3π/2 − α))

Шаг 1: Разложение синуса и косинуса разности cos(3π/2 − α) = cos(3π/2)cos(α) + sin(3π/2)sin(α) = 0 * cos(α) + (-1) * sin(α) = -sin(α)

sin(π + α) = sin(π)cos(α) + cos(π)sin(α) = 0 * cos(α) + (-1) * sin(α) = -sin(α)

Подставляем обратно в выражение:

2sin^2(α) - sin(α) - (-sin(α)) / (1 + sin(3π/2 − α))

Шаг 2: Упрощение 2sin^2(α) + sin(α) / (1 + sin(3π/2 − α))

Шаг 3: Переводим sin(3π/2 − α) в cos(α), используя тригонометрическое тождество sin(π/2 - x) = cos(x):

sin(3π/2 − α) = sin(π/2 - α) = cos(α)

Теперь заменяем sin(3π/2 − α) на cos(α):

2sin^2(α) + sin(α) / (1 + cos(α))

Шаг 4: Приведение к общему знаменателю

Для этого умножим числитель и знаменатель на (1 - cos(α)):

(2sin^2(α) + sin(α)) * (1 - cos(α)) / ((1 + cos(α)) * (1 - cos(α)))

Шаг 5: Упрощение

2sin^2(α)(1 - cos(α)) + sin(α)(1 - cos(α)) / (1 - cos^2(α))

Теперь, используем тригонометрическое тождество sin^2(x) + cos^2(x) = 1:

1 - cos^2(α) = sin^2(α)

Подставляем обратно:

2sin^2(α)(1 - cos(α)) + sin(α)(1 - cos(α)) / sin^2(α)

Шаг 6: Факторизация

Выносим общий множитель sin^2(α) из первых двух слагаемых:

sin^2(α)(2 - 2cos(α) + 1 - cos(α)) / sin^2(α)

Шаг 7: Упрощение

(3 - 3cos(α)) / 1

Шаг 8: Используем тригонометрическое тождество cos(α) = 1 - 2sin^2(α):

(3 - 3(1 - 2sin^2(α))) / 1

Шаг 9: Упрощение

(3 - 3 + 6sin^2(α)) / 1

Шаг 10: Упрощение

6sin^2(α)

Таким образом, левая сторона равна 6sin^2(α).

Правая сторона: -2sin(α)

Теперь у нас левая сторона и правая сторона совпали:

Левая сторона: 6sin^2(α) Правая сторона: -2sin(α)

Таким образом, доказано тождество:

2sin^2(α) + cos(3π/2 − α) − sin(π + α) / (1 + sin(3π/2 − α)) = -2sin(α)