Question

Найти общий вид первообразной: 1.f(x)=Sinx-3/cos^2x 4 2.f(x)=2x+3 корня из x Первообразное значение функции f(x): 1.f(x)=3+x,F(-1)=2 2.f(x)=3cosx,F(пи/2)=2

Answer 1

$1. f(x)=sinx-\frac{3}{cos^2x}\\F(x)=-cosx-3tgx+C\\f(x)=2x+3\sqrt{x}\\ F(x)=\frac{2x^2}{2}+3\frac{2x^3^/^2}{3}=x^2+2\sqrt{x^3}+C\\2. f(x)=3+x, F(-1)=2\\F(x)=3x+\frac{x^2}{2}+C\\ 2=3*(-1)+\frac{1}{2}+C\\ C=2+3-\frac{1}{2}\\ C=4\frac{1}{2} \\F(x)=3x+\frac{x^2}{2}+4\frac{1}{2}\\ f(x)=3cosx, F(\frac{\pi }{2})=2\\ F(x)=3sinx+C\\2=3sin\frac{\pi }{2} +C\\C=2-3*1\\C=-1\\F(x)=3sinx-1$

Answer 2

Чтобы найти общий вид первообразной функции, необходимо проинтегрировать данную функцию по переменной x.

1. Для функции f(x) = sin(x) - 3/cos^2(x): ∫(sin(x) - 3/cos^2(x)) dx

Для нахождения первообразной, проинтегрируем каждый член отдельно: ∫sin(x) dx - ∫3/cos^2(x) dx

Интеграл ∫sin(x) dx = -cos(x) + C1, где C1 - произвольная константа интегрирования. Интеграл ∫3/cos^2(x) dx = 3∫sec^2(x) dx = 3tan(x) + C2, где C2 - произвольная константа интегрирования.

Таким образом, общий вид первообразной функции f(x) равен: F(x) = -cos(x) + 3tan(x) + C, где C - произвольная константа интегрирования.

2. Для функции f(x) = 2x + 3√x: ∫(2x + 3√x) dx

Интеграл ∫2x dx = x^2 + C1, где C1 - произвольная константа интегрирования. Интеграл ∫3√x dx = ∫3x^(1/2) dx = 2x^(3/2) + C2, где C2 - произвольная константа интегрирования.

Таким образом, общий вид первообразной функции f(x) равен: F(x) = x^2 + 2x^(3/2) + C, где C - произвольная константа интегрирования.

Теперь, используя условия задачи, найдем конкретные значения констант интегрирования:

1. Для первой функции f(x) = sin(x) - 3/cos^2(x) и F(-1) = 2: Подставляем x = -1 в выражение для первообразной F(x): F(-1) = -cos(-1) + 3tan(-1) + C

Так как F(-1) = 2, то: 2 = -cos(-1) + 3tan(-1) + C

Вычисляем значения функций в точке x = -1: cos(-1) = cos(1) ≈ 0.5403 tan(-1) = tan(-π/4) ≈ -1

Теперь находим C: 2 = -0.5403 - 3(-1) + C C ≈ 2.5403

Таким образом, конкретный вид первообразной функции f(x) = sin(x) - 3/cos^2(x), удовлетворяющий условию F(-1) = 2, будет: F(x) = -cos(x) + 3tan(x) + 2.5403

2. Для второй функции f(x) = 2x + 3√x и F(π/2) = 2: Подставляем x = π/2 в выражение для первообразной F(x): F(π/2) = (π/2)^2 + 2(π/2)^(3/2) + C

Так как F(π/2) = 2, то: 2 = (π/2)^2 + 2(π/2)^(3/2) + C

Вычисляем значения функций в точке x = π/2: (π/2)^2 = π^2/4 ≈ 2.4674 (π/2)^(3/2) = (√(π/2))^3 ≈ 1.2533

Теперь находим C: 2 = 2.4674 + 2(1.2533) + C C ≈ -1.7207

Таким образом, конкретный вид первообразной функции f(x) = 2x + 3√x, удовлетворяющий условию F(π/2) = 2, будет: F(x) = x^2 + 2x^(3/2) - 1.7207