Question

При каком значении параметра р вектор q−−={4;4;p} является линейной комбинацией векторов m−−−={1;1;4} и n−−={3;2;4} ?

Answer 1

$q = am + bn \\ 4 = a + 3b \\ 4 = a + 2b \\ p = 4a + 4b \\ \\ a = 4 - 3b \\ 4 = 4 - 3b + 2a$

тогда, b=0, a=4

подставляем,

р=4*4-4*0=16

Answer 2

Для того чтобы вектор q−={4;4;p} был линейной комбинацией векторов m−={1;1;4} и n−={3;2;4}, должны выполняться следующие условия:

q− = a * m− + b * n−

где a и b - некоторые числа.

Сравнивая координаты, получим систему уравнений:

4 = a * 1 + b * 3 4 = a * 1 + b * 2 p = a * 4 + b * 4

Решим систему уравнений:

Исходная система:

1. a + 3b = 4
2. a + 2b = 4
3. 4a + 4b = p

Из уравнения (1) выразим a: a = 4 - 3b

Подставим a в уравнение (2): 4 - 3b + 2b = 4 -b = 0 b = 0

Теперь, найдем a: a = 4 - 3 * 0 = 4

Итак, получаем, что a = 4 и b = 0.

Теперь, подставим значения a и b в уравнение (3), чтобы найти значение p:

4a + 4b = p 4 * 4 + 4 * 0 = p 16 = p

Таким образом, при значении параметра p = 16, вектор q−={4;4;16} является линейной комбинацией векторов m−−−={1;1;4} и n−−={3;2;4}.