Question

Решить уравнение sin²4x-sin²2x=0

Answer 1

Применяем формулу синуса двойного угла
(2 sin2x cos2x)²-sin²2x=0
4 sin²2x cos²2x-sin²2x=0
sin²2x(4cos²2x-1)=0
1) sin²2x=0
sin2x=0
2x=πn
x=πn/2, n∈Z
2) 4cos²2x-1=0
cos²2x=1/4
cos2x=1/2
2x=⁺₋ arccos(0.5)+πk
2x=⁺₋ π/3+πk
x=⁺₋ π/6+πk/2, k∈Z
Ответ: =πn/2; ⁺₋ π/6+πk/2; n,k∈Z

Answer 2

Распишем по формуле синуса двойного угла
(2*(2sinxcosx))^2-(2sinxcosx)^2=0
Разделим на 2*(2sinxcosx) 
2*(2sinxcosx)-sinxcosx=0
4sinxcosx-sinxcosx=0
3sinxcosx=0
Разделим на cosx
3sinx=0
sinx=0
x=arcsin0+2Пn
x=2Пn

Answer 3

Для решения уравнения sin²(4x) - sin²(2x) = 0 давайте воспользуемся тригонометрическими тождествами.

Применение тригонометрических тождеств

Мы можем воспользоваться тригонометрическими тождествами для упрощения уравнения. Напомню, что для этого уравнения мы можем использовать следующие тождества:

1. sin(2x) = 2sin(x)cos(x) 2. sin²(x) = 1 - cos²(x)

Замена переменных

Давайте заменим sin(2x) на 2sin(x)cos(x) и sin²(4x) на (1 - cos²(4x)). После этой замены у нас получится уравнение только с переменной cos(x).

Решение уравнения

Итак, у нас получается: (1 - cos²(4x)) - (1 - cos²(2x)) = 0 1 - cos²(4x) - 1 + cos²(2x) = 0 -cos²(4x) + cos²(2x) = 0

Формирование уравнения

Теперь мы можем использовать тождество cos²(2x) = 1/2 * (1 + cos(4x)) для замены cos²(2x) в уравнении. Таким образом, у нас получится: -cos²(4x) + 1/2 * (1 + cos(4x)) = 0

Решение получившегося уравнения

Теперь давайте решим получившееся уравнение. -cos²(4x) + 1/2 + 1/2 * cos(4x) = 0 Умножим обе части уравнения на -2, чтобы избавиться от отрицательного коэффициента перед cos²(4x): 2cos²(4x) - cos(4x) - 1 = 0

Теперь давайте проведем замену переменной, например, \( u = \cos(4x) \), чтобы привести уравнение к квадратному: 2u² - u - 1 = 0

Далее мы можем решить это квадратное уравнение относительно переменной u, используя стандартные методы решения квадратных уравнений.

После нахождения корней уравнения относительно переменной u, мы сможем найти соответствующие значения переменной x, используя обратную замену \( u = \cos(4x) \).

Давайте выполним эти шаги и решим уравнение.