Question

Найдите площадь фигуры ограниченной линиями y=x^2+1, y=0,x=-2, x=2

Answer 1

Чтобы решить эту задачу надо понимать, что такое интеграл.

Нам всего лишь необходимо найти площадь под графиков функции y=x^2+1, от -2 до 2.

$S=\int\limits^2_-2 {x^2+1} \, dx =F(x)|^2_{-2}\\F(x)=\frac{x^3}{3} +x\\S=F(2)-F(-2)=\frac{8}{3} +2-(\frac{-8}{3} -2)=\\=16/3+4=9+1/3$

Хотя вообще функция симметрична оси у и можно было просто умножить на 2, площадь под графиком у=х^2+1, от 0 до 2.

Ответ: S=9+1/3

Answer 2

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной заданными линиями, нужно рассчитать определенный интеграл. В данном случае, фигура ограничена графиком функции y = x^2 + 1 и осями x и y.

Первым шагом найдем точки пересечения графика функции y = x^2 + 1 с осями x и y:

1. С пересечением графика функции с осью x: y = 0, тогда x^2 + 1 = 0 x^2 = -1 (нет реальных корней, так как квадрат числа не может быть отрицательным) Таким образом, график функции не пересекает ось x.

2. С пересечением графика функции с осью y: x = 0, тогда y = 0^2 + 1 = 1 Таким образом, график функции пересекает ось y в точке (0, 1).

Теперь определим пределы интегрирования. Фигура ограничена вертикальными линиями x = -2 и x = 2, и горизонтальной линией y = 0.

Для нахождения площади фигуры, нужно интегрировать разность между графиком функции y = x^2 + 1 и осью x (y = 0) в пределах от x = -2 до x = 2.

Площадь фигуры будет равна: $S = \int_{-2}^{2} (x^2 + 1)dx$

Интегрируем функцию: $S = \left[\frac{x^3}{3} + x \right]_{-2}^{2}$

$S = \left[\frac{2^3}{3} + 2 \right] - \left[\frac{(-2)^3}{3} - 2 \right]$

$S = \left[\frac{8}{3} + 2 \right] - \left[\frac{-8}{3} - 2 \right]$

$S = \frac{8}{3} + 2 + \frac{8}{3} + 2$

$S = \frac{16}{3} + 4$

$S = \frac{16 + 12}{3}$

$S = \frac{28}{3}$

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y = x^2 + 1, y = 0, x = -2 и x = 2, равна $\frac{28}{3}$ или приближенно 9.33 квадратных единиц.