Question

-z^3+8i=0 ПОМОГИТЕ, КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

Answer 1

Смотри решение на картинке

Answer 2

Конечно, я помогу вам решить уравнение с комплексными числами. Давайте решим уравнение -z^3 + 8i = 0.

1. Сначала перенесем 8i на другую сторону уравнения: -z^3 = -8i

2. Теперь избавимся от отрицательного знака у переменной z, умножив всю формулу на -1: z^3 = 8i

3. Теперь представим комплексное число 8i в показательной форме: 8i = 8 * i = 8 * e^(πi/2)

где e - основание натурального логарифма, а π - число пи.

4. Теперь перепишем уравнение в показательной форме: z^3 = 8 * e^(πi/2)

5. Для решения кубического уравнения, представим z тоже в показательной форме: z = r * e^(iθ)

где r - модуль числа z, а θ - его аргумент.

6. Теперь возведем обе части уравнения в степень 1/3 (кубический корень): z^(1/3) = (8 * e^(πi/2))^(1/3)

7. Воспользуемся тем, что (ab)^n = a^n * b^n и (e^(ix))^n = e^(inx): z^(1/3) = 2 * e^(i(π/2 + 2πk)/3)

где k - целое число (0, 1, 2), которое определяет три различных корня кубического уравнения.

8. Полученные корни: z_1 = 2 * e^(i(π/2)/3) = 2 * e^(iπ/6) = 2 * (cos(π/6) + i * sin(π/6)) = sqrt(3) + i

z_2 = 2 * e^(i(π/2 + 2π)/3) = 2 * e^(i5π/6) = 2 * (cos(5π/6) + i * sin(5π/6)) = -sqrt(3) + i

z_3 = 2 * e^(i(π/2 + 4π)/3) = 2 * e^(i3π/2) = 2 * (cos(3π/2) + i * sin(3π/2)) = -2i

Таким образом, уравнение имеет три комплексных корня: z = sqrt(3) + i, z = -sqrt(3) + i и z = -2i.