Question

Сумма утроенного второго и четвёртого членов арифметической прогрессии равна 24. Узнай, при каком значении разности прогрессии произведение третьего и пятого членов прогрессии будет наименьшим. Ответ:разность прогрессии: d= .В решении задания использовались формулы (запиши недостающие числа):1. a1=−d;2. f(d)= + d+d2​

Answer 1

$3a_{2} + a_{4} = 24 \\ 3(a_{1} + d) + a_{1} + 3d = 3a_{1} + 3d+ a_{1} + 3d \\ 4a_{1} + 6d = 24 \\ 2a_{1} + 3d = 12 \\ 2a_{1} = 12 - 3d\\ a_{1} = \frac{12 - 3d}{2}$

$a_{3} \times a_{5} = (a_{1} + 2d)( a_{1} + 4d ) = \\ = {a}^{2} _{1} + 2a_{1} d + 4a_{1} d + 8 {d}^{2} = \\ = {a}^{2} _{1} + 6a_{1} d + 8 {d}^{2}$

${( \frac{12 - 3d}{2}) }^{2} + 6(\frac{12 - 3d}{2}) d + 8 {d}^{2} \\ \frac{ {(12 - 3d)}^{2} }{4} + 6d \frac{(12 - 3d)}{2} + 8 {d}^{2} = 0 \\ {(12 - 3d)}^{2} + 6d(12 - 3d) + 32 {d}^{2} = 0 \\ 144 - 72d + 9 {d}^{2} + 144d - 36 {d}^{2} + 32 {d}^{2} = 0 \\ 5 {d}^{2} + 72d + 144 = 0$

Находим вершину параболы:

$x = - \frac{b}{2a} \\ x = - \frac{72}{2 \times 5} = - 7.2$

Таким образом минимальное значение

$a_{3} \times a_{5}$

достигается при d=-7.2

Ответ:

разность прогрессии: d= -7.2

Answer 2

Дано:

Сумма утроенного второго и четвёртого членов арифметической прогрессии равна 24:

2a + 4d = 24 ..............(1)

Также, нам нужно найти значение разности прогрессии (d), при котором произведение третьего и пятого членов прогрессии будет наименьшим.

Пусть третий член арифметической прогрессии равен a + 2d, и пятый член равен a + 4d.

Тогда, произведение третьего и пятого членов прогрессии:

(a + 2d)(a + 4d)

Для того чтобы найти наименьшее значение этого произведения, можно воспользоваться производной и приравнять её к нулю:

d/dx [(a + 2d)(a + 4d)] = 0

Посчитаем производную:

d/dx [a^2 + 6ad + 8d^2] = 0

Производная равна:

6a + 8d = 0

Теперь нам нужно выразить a через d из уравнения суммы, чтобы найти значение d.

Из уравнения (1):

2a + 4d = 24

Выразим a:

2a = 24 - 4d

a = 12 - 2d

Теперь подставим значение a в уравнение производной:

6a + 8d = 0

6(12 - 2d) + 8d = 0

72 - 12d + 8d = 0

72 - 4d = 0

4d = 72

d = 72 / 4

d = 18

Таким образом, значение разности прогрессии равно d = 18.