Question

Сумма утроенного второго и четвёртого членов арифметической прогрессии равна 30. Вычисли, при каком значении разности прогрессии произведение третьего и пятого членов прогрессии будет наименьшим. Ответ: разность прогрессии: = . В решении задания использовались формулы (запиши недостающие числа): 1. 1=−; 2. ()=++2.

Answer 1

Ответ: d = -9

Объяснение:

По условию:

$3a_{2} +a_{4}=30$

Применив формулу $a_{n}=a_{1}+d(n-1)$ для n-го члена арифметической прогрессии, получим:

$3a_{1}+3d+a_{1}+3d=30\\4a_{1}+6d=30\\2a_{1}+3d=15$

Откуда $a_{1}=\frac{15-3d}{2}$

Надо найти минимум функции

$f(d)=a_{3}*a_{5}=(a_{1}+2d)(a_{1}+4d)=(\frac{15-3d}{2}+2d)(\frac{15-3d}{2}+4d)=(\frac{15+d}{2})(\frac{15+5d}{2})=\frac{5d^{2}+90d+225}{4}$

Квадратный трехчлен в числителе функции (a > 0 )достигает минимума в вершине параболы:

$d=-\frac{b}{2a}=-\frac{90}{10}=-9$

Answer 2

Давайте рассмотрим данную задачу по порядку. Пусть разность арифметической прогрессии равна d, и первый член равен a.

1. Мы знаем, что сумма утроенного второго и четвёртого членов арифметической прогрессии равна 30:

   3(a + 2d) + (a + 4d) = 30.

2. Теперь найдём выражение для произведения третьего и пятого членов арифметической прогрессии:

   (a + 2d)(a + 4d).

3. Нам нужно минимизировать это выражение. Для этого мы можем воспользоваться квадратным трёхчленом и его вершиной. Положим:

   f(x) = ax^2 + bx + c,

   где x = a + 2d, и мы хотим найти значение x, при котором функция f(x) будет иметь минимальное значение.

   В формулах из задачи:

   x = a + 2d, f(x) = (a + 2d)(a + 4d).

4. Выразим a через x и d из первого уравнения (1):

   a = x - 2d.

5. Подставим a в выражение для f(x):

   f(x) = (x - 2d)(a + 4d) = (x - 2d)(x + 2d) = x^2 - (2d)^2 = x^2 - 4d^2.

6. Теперь мы хотим найти минимум f(x). Минимум квадратичной функции находится в вершине параболы, где производная равна нулю:

   f'(x) = 2x.

   Найдем x, при котором f'(x) = 0:

   2x = 0, x = 0.

7. Так как x = a + 2d, и a не может быть равным нулю (это первый член арифметической прогрессии), то получаем:

   a + 2d = 0, a = -2d.

8. Теперь мы знаем, что первый член арифметической прогрессии равен -2d. Из уравнения (1) можно найти d:

   3(-2d + 2d) + (-2d + 4d) = 30, -2d + 2d + 2d = 30, 2d = 30, d = 15.

Таким образом, разность прогрессии d = 15, и это значение делает произведение третьего и пятого членов арифметической прогрессии наименьшим.