Question

Найти промежуток возрастания функции f(x)=4x-5/x+3​

Answer 1

Функция имеет разрыв в точке х = -3.

Её область определения (-∞; -3) ∪ (-3; +∞).

Производная функции f(x) = (4x - 5)/(x + 3) ​равна:

y' = (4(x + 3) - 1*(4x - 5))/(x + 3)² = (4x + 12 - 4x + 5)/(x + 3)² = 17/(x + 3)².

Значение производной при любых значениях х положительно.

Поэтому функция на всей области определения возрастающая.

Более подробно анализ функции дан в приложении (страница 4).

Answer 2

Чтобы найти промежуток возрастания функции f(x) = (4x - 5)/(x + 3), нужно выполнить несколько шагов:

1. Найдите точки, в которых производная функции равна нулю или не существует. В этих точках функция может менять свой характер: с возрастания на убывание или наоборот.

2. Определите знак производной в промежутках между найденными точками.

3. Определите, когда производная положительна (функция возрастает) и когда отрицательна (функция убывает).

Давайте начнем с первого шага:

1. Найдем производную функции f(x): f(x) = (4x - 5) / (x + 3)

   Используем правило дифференцирования частного и цепного правила: f'(x) = [(x + 3)(4) - (4x - 5)(1)] / (x + 3)^2 f'(x) = (4x + 12 - 4x + 5) / (x + 3)^2 f'(x) = 17 / (x + 3)^2

2. Найдем точки, в которых производная равна нулю или не существует: Для этого приравняем f'(x) к нулю и решим уравнение:

   17 / (x + 3)^2 = 0

   Производная не может быть равна нулю, так как числитель не равен нулю. Таким образом, у функции нет критических точек, где производная равна нулю.

   Также функция непрерывна на всей числовой прямой, за исключением x = -3, где знаменатель (x + 3) обращается в ноль. Однако в этой точке производная не существует, так как деление на ноль неопределено.

3. Определение знака производной в промежутках:

   Рассмотрим три интервала:

   • x < -3 -3 < x < -3 x > -3

   Возьмем произвольное значение внутри каждого интервала и определим знак производной.

   a) Для x < -3: Выберем x = -4: f'(-4) = 17 / (-4 + 3)^2 = 17 / (-1)^2 = 17 > 0 Производная положительна на этом интервале, следовательно, функция возрастает.

   b) Для -3 < x < -3: Так как x = -3 не входит в рассматриваемый интервал (из-за непрерывности функции), производную не рассматриваем.

   c) Для x > -3: Выберем x = 0: f'(0) = 17 / (0 + 3)^2 = 17 / 9 > 0 Производная положительна на этом интервале, следовательно, функция возрастает.

Таким образом, функция f(x) = (4x - 5)/(x + 3) возрастает на всем множестве x, за исключением точки x = -3.