Question

F(x)=x^4-4x^3 екстремуми функції. допоможіть ​

Answer 1

Ответ:

экстремум функции===================================

Объяснение:

Answer 2

Для знаходження екстремумів функції $F(x) = x^4 - 4x^3$, потрібно знайти похідну функції та розв'язати рівняння $F'(x) = 0$.

Спершу, знайдемо похідну функції $F(x)$:

$F'(x) = \frac{d}{dx} (x^4 - 4x^3)$

Для знаходження похідної застосуємо правило диференціювання степеневої функції та лінійного диференціювання:

$F'(x) = 4x^3 - 12x^2$

Тепер, знайдемо значення $x$, для яких $F'(x) = 0$:

$4x^3 - 12x^2 = 0$

Виділимо спільний множник:

$4x^2(x - 3) = 0$

Отримуємо дві можливі точки екстремуму: $x = 0$ і $x = 3$.

Тепер, для визначення характеру точок, перевіримо знак похідної $F'(x)$ у околі цих точок:

1. Коли $x < 0$, обидві складові $x^3$ та $x^2$ від'ємні, тому $F'(x)$ буде додатнім (позитивним).
2. Коли $0 < x < 3$, перший доданок $4x^3$ є позитивним, але другий доданок $12x^2$ від'ємний, тому $F'(x)$ буде від'ємним (негативним).
3. Коли $x > 3$, обидві складові $x^3$ та $x^2$ є позитивними, тому $F'(x)$ буде додатнім (позитивним).

Таким чином, маємо:

1. Коли $x < 0$: $F'(x) > 0$, отже, функція $F(x)$ зростає на цьому проміжку.
2. Коли $0 < x < 3$: $F'(x) < 0$, отже, функція $F(x)$ спадає на цьому проміжку.
3. Коли $x > 3$: $F'(x) > 0$, отже, функція $F(x)$ зростає на цьому проміжку.

Таким чином, у точці $x = 0$ функція може мати локальний мінімум, а в точці $x = 3$ - локальний максимум. Оскільки $F(x)$ - поліноміальна функція четвертого ступеня, вона є неперервною, тому такі точки дійсно будуть локальними екстремумами.

Для знаходження значень функції $F(x)$ в цих точках:

1. У точці $x = 0$:

$F(0) = 0^4 - 4 \cdot 0^3 = 0$

2. У точці $x = 3$:

$F(3) = 3^4 - 4 \cdot 3^3 = 81 - 108 = -27$

Отже, $F(x)$ має локальний мінімум у точці $x = 0$ і локальний максимум у точці $x = 3$.