Question

Найдите наибольшее и наименьшее значение функции a) y=-x^3+3x+3 на отрезках 1) [-1;2] 2) [1; 3] 3) [-1; 3] b) y=x^3\3 - 5x^2\2 +6x+10 1) [0; 1] 2) [0; 2,5] 3) [0,4] c) y=x^4-8x^2-9 1) [-1,1] 2) [0; 3] 3) [3;5]

Answer 1

а)

Дано: y = -x³ + 3*x+3

y'(x) = -3*x² + 3 = -3*(x²-1) = - 3*(x-1)*(x+1)=  0 - первая производная.

Корни: х1 = - 1 и х2 = 1 - точки экстремумов.

Вычисляем.

1) x = -1 ⇒ ymin = 1 ,  x = 1 ⇒ ymax = 5 - ответ

2) x = 1  ⇒ ymax = 5, x = 3 ⇒ ymin = -15 - ответ

3) x = -1 ⇒ ymax = 1 , x = 3 ⇒ ymin = -15 - ответ

рисунок с графиком .

b) Дано: y = 1/3*x³ - 2.5*x² + 6*x +10

y'(x) = x² - 5x + 6 = (х-2)*(х-3) = 0 - находим корни.

х1 = 2,  х2 = 3

1) ymin(0) = 10  ymax(1) = 13 5/6 - ответ

2) ymin(0) = 10  ymax(2,5) = 14 3/5 - ответ

3) ymin(0) = 10  ymax(4) = 15 1/3 - ответ

Рисунок с графиком.

с) Дано: y = x⁴ - 8*x² - 9

y'(x) = 4*x³ - 16*x = 4*x*(x-2)*(x+2) = 0

Экстремумы в точках? х1 = - 2, х2 = 0 , х3 = 2.

) ymin(-1) = -16  ymax(0) = -9 - ответ

2) ymin(0) = -9  ymax(3) = 0 - ответ

3) ymin(3) = 0 ymax(5) = 416 - ответ

Рисунок с графиком.

Answer 2

a)

$y=-x^3+3x+3;y'=-3x^2+3=-3(x+1)(x-1)$

1) [-1;2]

$y_{min}=y(-1)=1-3+3=1\\y_{max}=y(1)=-1+3+3=5$

2) [1;3]

$y_{mix}=y(3)=-27+9+3=-15\\y_{max}=y(1)=5$

3) [-1;3]

$y(-1)=1;y(3)=-15=>\\y_{min}=y(3)=-15\\y_{max}=y(1)=5$

b)

$y=\frac{x^3}{3} -\frac{5x^2}{2} +6x+10;y'=x^2-5x+6;D=25-24=1^2\\y'=(x-2)(x-3)$

1) [0;1]

$y_{min}=y(0)=10\\y_{max}=y(1)=1/3-5/2+6+10=13+5/6$

2) [0;2,5]

$y(0)=10;y(2.5)>y(3)=9-22.5+18+10=14.5=>\\y_{min}=y(0)=10\\y_{max}=y(2)=8/3-10+12+10=14+2/3$

3) [0;4]

$y(0)=10;y(3)=14.5=>\\y_{min}=y(0)=10\\y(2)=14+2/3;y(4)=64/3-40+24+10=15+1/3=>\\y_{max}=y(4)=15+1/3$

c) Степени чётные, поэтому функция чётная (с названиями просто совпадение), это значит, что y(x)=y(-x)

$y=x^4-8x^2-9;y'=4x^3-16x=4x(x-2)(x+2)$

1) [-1;1]

$y(-1)=1-8-9=-16=y(1)=>\\y_{min}=-16\\y_{max}=y(0)=-9$

2) [0;3]

$y_{min}=y(2)=16-32-9=-25\\y(0)=-9;y(3)=81-72-9=0=>\\y_{max}=y(3)=0$

3) [3;5]

$y_{min}=y(3)=0\\y_{max}=y(5)=625-200-9=416$

Answer 3

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на заданных отрезках, нужно вычислить значения функции на границах отрезка и в критических точках (если они есть), а затем сравнить полученные значения.

a) y = -x^3 + 3x + 3

1. На отрезке [-1, 2]: y(-1) = -(-1)^3 + 3*(-1) + 3 = -1 - 3 + 3 = -1 y(2) = -(2)^3 + 3*(2) + 3 = -8 + 6 + 3 = 1 На данном отрезке минимальное значение функции -1 (в точке x = -1), а максимальное значение 1 (в точке x = 2).

2. На отрезке [1, 3]: y(1) = -(1)^3 + 3*(1) + 3 = -1 + 3 + 3 = 5 y(3) = -(3)^3 + 3*(3) + 3 = -27 + 9 + 3 = -15 На данном отрезке минимальное значение функции -15 (в точке x = 3), а максимальное значение 5 (в точке x = 1).

3. На отрезке [-1, 3]: y(-1) = -(-1)^3 + 3*(-1) + 3 = -1 - 3 + 3 = -1 y(3) = -(3)^3 + 3*(3) + 3 = -27 + 9 + 3 = -15 На данном отрезке минимальное значение функции -15 (в точке x = 3), а максимальное значение -1 (в точке x = -1).

b) y = x^3/3 - 5x^2/2 + 6x + 10

1. На отрезке [0, 1]: y(0) = 0/3 - 5*(0)^2/2 + 6*(0) + 10 = 10 y(1) = 1/3 - 5*(1)^2/2 + 6*(1) + 10 = 1/3 - 5/2 + 6 + 10 = 33/3 = 11 На данном отрезке минимальное значение функции 10 (в точке x = 0), а максимальное значение 11 (в точке x = 1).

2. На отрезке [0, 2.5]: y(0) = 0/3 - 5*(0)^2/2 + 6*(0) + 10 = 10 y(2.5) = (2.5)^3/3 - 5*(2.5)^2/2 + 6*(2.5) + 10 = 15.625 - 31.25 + 15 + 10 = 9.375 На данном отрезке минимальное значение функции 9.375 (в точке x = 2.5), а максимальное значение 10 (в точке x = 0).

3. На отрезке [0, 4]: y(0) = 0/3 - 5*(0)^2/2 + 6*(0) + 10 = 10 y(4) = (4)^3/3 - 5*(4)^2/2 + 6*(4) + 10 = 64/3 - 40 + 24 + 10 = 94/3 ≈ 31.33 На данном отрезке минимальное значение функции 10 (в точке x = 0), а максимальное значение ≈ 31.33 (в точке x = 4).

c) y = x^4 - 8x^2 - 9

1. На отрезке [-1, 1]: y(-1) = (-1)^4 - 8*(-1)^2 - 9 = 1 - 8 - 9 = -16 y(1) = (1)^4 - 8*(1)^2 - 9 = 1 - 8 - 9 = -16 На данном отрезке минимальное значение функции -16 (в точках x = -1 и x = 1), а максимальное значение -16 (в точках x = -1 и x = 1).

2. На отрезке [0, 3]: y(0) = (0)^4 - 8*(0)^2 - 9 = -9 y(3) = (3)^4 - 8*(3)^2 - 9 = 81 - 72 - 9 = 0 На данном отрезке минимальное значение функции -9 (в точке x = 0), а максимальное значение 0 (в точке x = 3).

3. На отрезке [3, 5]: y(3) = (3)^4 - 8*(3)^2 - 9 = 0 y(5) = (5)^4 - 8*(5)^2 - 9 = 625 - 200 - 9 = 416 На данном отрезке минимальное значение функции 0 (в точке x = 3), а максимальное значение 416 (в точке x = 5).

Итак, для каждой функции на заданных отрезках:

a)

1. Минимальное значение: -1; Максимальное значение: 1
2. Минимальное значение: -15; Максимальное значение: 5
3. Минимальное значение: -15; Максимальное значение: -1

b)

1. Минимальное значение: 10; Максимальное значение: 11
2. Минимальное значение: 9.375; Максимальное значение: 10
3. Минимальное значение: 10; Максимальное значение: ≈ 31.33

c)

1. Минимальное значение: -16; Максимальное значение: -16
2. Минимальное значение: -9; Максимальное значение: 0
3. Минимальное значение: 0; Максимальное значение: 416