Question

Решить задачу Коши x(1+y)y'=y^2 y(1)=1

Answer 1

$x(1+y)\frac{dy}{dx} =y^2\\ \\ \int \frac{1+y}{y^2} dy=\int \frac{dx}{x} \\ \\ \int (\frac{1}{y^2} + \frac{1}{y} )dy=\ln|x| \\ \\ -\frac{1}{y} +\ln|y|+C=\ln|x| \\ \\ y(1)=1 \\ \\ -1+\ln1+C=\ln1 \\ \\ C=1 \\ \\ -\frac{1}{y} +\ln|y|+1=\ln|x| \\ \\ \ln|x|=\frac{y-1}{y} +\ln|y| \\ \\ x=e^{\frac{y-1}{y} +\ln|y|}=e^{\frac{y-1}{y}}*e^{\ln|y|}=ye^{\frac{y-1}{y} } \\ \\ OTBET: \ x=ye^{\frac{y-1}{y} }$

Answer 2

Для решения задачи Коши данного дифференциального уравнения, мы можем использовать метод разделения переменных и интегрирования.

Дано уравнение:

x(1 + y)y' = y^2, y(1) = 1.

Для начала, разделим переменные, перенося все содержащие y на одну сторону, а x на другую:

y^2 / (1 + y) dy = dx.

Теперь проинтегрируем обе стороны:

∫(y^2 / (1 + y)) dy = ∫dx.

Для левой стороны интеграла можно использовать замену переменной, например, пусть u = 1 + y, тогда du = dy:

∫(y^2 / u) du = ∫dx.

∫(y^2 / u) du = x + C1, (где C1 - постоянная интегрирования).

Теперь выполним интегрирование слева:

∫(y^2 / u) du = ∫(y^2 / (1 + y)) dy.

Обратимся к исходному выражению: y^2 / (1 + y):

y^2 / (1 + y) = y^2 - y^3 / (1 + y) = y^2 - y + y / (1 + y).

Таким образом, можем записать:

∫(y^2 / (1 + y)) dy = ∫(y^2 - y + y / (1 + y)) dy.

Выполним интегрирование отдельных частей:

∫(y^2 - y + y / (1 + y)) dy = ∫(y^2) dy - ∫(y) dy + ∫(y / (1 + y)) dy.

∫(y^2) dy = y^3 / 3.

∫(y) dy = y^2 / 2.

Для ∫(y / (1 + y)) dy используем замену переменной, пусть v = 1 + y, тогда dv = dy:

∫(y / (1 + y)) dy = ∫(v - 1) dv.

∫(v - 1) dv = v^2 / 2 - v + C2, (где C2 - постоянная интегрирования).

Таким образом, наша исходная задача сводится к уравнению:

y^3 / 3 - y^2 / 2 + v^2 / 2 - v + C1 = x + C2.

Помним, что v = 1 + y:

y^3 / 3 - y^2 / 2 + (1 + y)^2 / 2 - (1 + y) + C1 = x + C2.

Теперь подставим начальное условие y(1) = 1:

1^3 / 3 - 1^2 / 2 + (1 + 1)^2 / 2 - (1 + 1) + C1 = 1 + C2.

1/3 - 1/2 + 2 - 2 + C1 = 1 + C2.

C1 - 1/6 = 1 + C2.

Теперь можем найти C2:

C2 = C1 - 1 - 1/6.

C2 = C1 - 7/6.

Теперь, чтобы получить окончательное решение, подставим C2 в наше уравнение:

y^3 / 3 - y^2 / 2 + (1 + y)^2 / 2 - (1 + y) + C1 = x + C1 - 7/6.

y^3 / 3 - y^2 / 2 + (1 + y)^2 / 2 - (1 + y) = x - 7/6.

Это окончательное решение задачи Коши для данного дифференциального уравнения.