Question

Докажите что выражение - a²+4a-19 может принимать лишь отрицательное значение​

Answer 1

Предположение:

Если построить график

$y = - a {}^{2} + 4a - 19$

то ветви параболы направлены вниз, а также находится 1,4 четвёртях. Следовательно, функция всегда отрицательна, а это значит, что выражение всегда отрицательно

Answer 2

Для доказательства того, что выражение $a^2 + 4a - 19$ принимает лишь отрицательное значение для всех значения $a$, нам нужно показать, что оно всегда меньше нуля. Мы можем сделать это, используя метод завершения квадратного трехчлена.

Выражение $a^2 + 4a - 19$ представляет собой квадратный трехчлен, который можно переписать в виде: $a^2 + 4a + C$, где $C$ - константа.

Чтобы завершить квадратное выражение $a^2 + 4a + C$, нам нужно добавить и вычесть $B^2$, где $B$ - коэффициент при $a$ (в данном случае $B = 4$).

Таким образом, мы получаем: $a^2 + 4a - 19 = a^2 + 4a + 4 - 4 - 19 = (a + 2)^2 - 23$.

Теперь, чтобы выяснить, когда выражение $(a + 2)^2 - 23$ отрицательно, мы должны найти такие значения $a$, при которых $(a + 2)^2 < 23$.

Так как квадрат всегда неотрицательный (то есть $(a + 2)^2 \geq 0$), чтобы $(a + 2)^2 < 23$, нам нужно, чтобы $(a + 2)^2$ было меньше нуля.

Но поскольку квадрат не может быть отрицательным, то $(a + 2)^2 - 23$ также не может быть отрицательным.

Таким образом, выражение $a^2 + 4a - 19$ не может принимать отрицательные значения для любого значения $a$. Оно будет положительным или равным нулю для всех $a$.