Question

ПОЖАЛУЙСТА РЕШИТЕ, МНЕ ОСТАЛОСЬ ТОЛЬКО ЭТО ЗАДАНИЕ Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y=x^2 y=x^2/2 y=2*x

Answer 1

Ответ:

=============================================

Объяснение:

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной указанными линиями, необходимо найти точки их пересечения и определить границы интегрирования. Затем мы можем использовать определенный интеграл для вычисления площади.

Первым шагом найдем точки пересечения линий между собой. Найдем их, приравнивая функции друг к другу:

1. y = x^2

2. y = x^2/2

3. y = 2*x

4. и 2) пересекаются, когда x^2 = x^2/2. Решим это уравнение:

x^2 = x^2/2 2x^2 = x^2 x^2 = 0 x = 0

Таким образом, эти две функции пересекаются в точке (0, 0).

2. и 3) пересекаются, когда x^2/2 = 2x. Решим это уравнение:

x^2/2 = 2x x^2 = 4x x^2 - 4x = 0 x(x - 4) = 0

Это уравнение имеет два решения: x = 0 и x = 4.

Теперь у нас есть три точки пересечения: A(0, 0), B(0, 0), и C(4, 8).

Для вычисления площади фигуры ограниченной этими линиями, мы будем использовать определенный интеграл. Поскольку область находится между двумя кривыми y = x^2/2 и y = x^2, она будет определена интегралом от (нижней границы) до (верхней границы) разности между верхней и нижней функциями:

Площадь = ∫[a, b] (верхняя функция - нижняя функция) dx

Где a и b - это границы интегрирования. В данном случае, a = 0 и b = 4, поскольку точки A(0, 0) и C(4, 8) являются граничными точками области.

Теперь найдем выражения для верхней и нижней функций в области:

• Верхняя функция: y = x^2
• Нижняя функция: y = x^2/2

Таким образом, площадь фигуры будет равна:

Площадь = ∫[0, 4] (x^2 - x^2/2) dx

Вычислим этот интеграл:

Площадь = ∫[0, 4] (x^2 - x^2/2) dx = ∫[0, 4] (2x^2/2 - x^2/2) dx = ∫[0, 4] (x^2/2) dx = (1/2) * ∫[0, 4] x^2 dx

Теперь найдем интеграл x^2 dx:

∫ x^2 dx = (x^3)/3

Теперь вычислим площадь:

Площадь = (1/2) * [(4^3)/3 - (0^3)/3] = (1/2) * [64/3] = 32/3 ≈ 10.67

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y = x^2, y = x^2/2 и y = 2*x, составляет около 10.67 квадратных единиц.