Question

Найдите все первообразные функции A) 10+х-2√х +1/3√х B) 5/х + е^3х+5 C) 6сos(3x+2)+4sin( 60x-1) D) (2x+3)^5 E) 1/6x+4

Answer 1

Ответ:

==========================================================

Объяснение:

Answer 2

Для каждой из функций найдем их первообразные (антипроизводные).

A) Функция: 10 + x - 2√x + 1/3√x

Для нахождения первообразной данной функции, найдем производные от каждого слагаемого и интегрируем их:

∫(10 + x - 2√x + 1/3√x) dx = ∫10 dx + ∫x dx - 2∫√x dx + 1/3∫√x dx = 10x + x^2/2 - 2 * (2/3)x^(3/2) + 1/3 * (2/5)x^(5/2) + C = 10x + x^2/2 - (4/3)x^(3/2) + 2/15x^(5/2) + C

где C - произвольная константа.

B) Функция: 5/x + e^(3x) + 5

∫(5/x + e^(3x) + 5) dx = 5∫(1/x) dx + ∫e^(3x) dx + ∫5 dx = 5ln|x| + (1/3)e^(3x) + 5x + C

C) Функция: 6cos(3x + 2) + 4sin(60x - 1)

∫(6cos(3x + 2) + 4sin(60x - 1)) dx = 6∫cos(3x + 2) dx + 4∫sin(60x - 1) dx = 6 * (1/3)sin(3x + 2) + 4 * (-1/60)cos(60x - 1) + C = 2sin(3x + 2) - (2/15)cos(60x - 1) + C

D) Функция: (2x + 3)^5

Здесь используем формулу для интегрирования функции вида (ax + b)^n:

∫(2x + 3)^5 dx = (1/6)(2x + 3)^6 + C

E) Функция: 1/(6x) + 4

∫(1/(6x) + 4) dx = (1/6)∫(1/x) dx + 4∫dx = (1/6)ln|x| + 4x + C

Где C - произвольная константа.

Таким образом, мы нашли первообразные для каждой из данных функций.