Question

30 баллов.Можно ли утверждать, что, если на отрезке есть единственная точка максимума, то именно в этой точке функция принимает наибольшее значение?

Answer 1

Да, если эта функция непрерывна в указанном промежутке, то для отыскания наибольшего или наименьшего значения функции  на промежутке справедливы утверждения:

если функция  имеет в промежутке Х только одну точку экстремума  , причём это точка максимума, то  – наибольшее значение функции на промежутке Х достигается в этой точке;

а если  это точка минимума, то  - наименьшее значение функции на промежутке Х достигается в этой точке.

Answer 2

Нет, нельзя однозначно утверждать, что если на отрезке есть единственная точка максимума, то именно в этой точке функция принимает наибольшее значение. Это утверждение зависит от типа функции и её свойств.

Для непрерывных функций с ограниченным диапазоном значений, такие как большинство функций, которые мы встречаем в математике, на отрезке, где есть единственная точка максимума, функция будет принимать своё наибольшее значение именно в этой точке. Это следует из определения точки максимума: она является наибольшим значением функции на данном отрезке.

Однако существуют функции с разрывами или разрывными производными, для которых такое утверждение может быть неверным. В таких случаях на отрезке может быть единственная точка максимума, но функция будет принимать наибольшее значение в другой точке. Примером может служить функция с вертикальным асимптотическим поведением или функция с разрывом в определённой точке.

Чтобы утверждение было верным, необходимо, чтобы функция была непрерывной и имела ограниченный диапазон значений на рассматриваемом отрезке. В противном случае, оно может быть неверным, и для проверки этого необходимо анализировать функцию на данном отрезке более детально.