Question

Найдите все числа А при каждом из которых уравнение 5sinx+2cosx=A имеет решение.

Answer 1

5sinx + 2cosx = A

5/√29 sinx + 2/ √29 cosx = A√29

sin(x + acos(5/√29)) = A/√29

{ A/√29 >= -1

{ A/√29 <= 1;

{ A >= -√29

{ A <= √29

OTVET: A ⊂ [-√29; √29]

Answer 2

Для того чтобы уравнение 5sinx + 2cosx = A имело решение, его правая часть должна находиться в пределах [-√29, √29], так как максимальное значение для 5sinx + 2cosx равно √(5^2 + 2^2) = √29.

Таким образом, мы получаем неравенства:

-√29 ≤ A ≤ √29

Исходное уравнение является уравнением окружности в декартовой системе координат, и для того чтобы найти все значения А, при которых уравнение имеет решение, мы должны определить интервалы, на которых окружность пересекает ось ординат.

Для этого рассмотрим уравнение в квадратичной форме:

(5sinx)^2 + (2cosx)^2 = A^2

25sin^2(x) + 4cos^2(x) = A^2

25(1 - cos^2(x)) + 4cos^2(x) = A^2

25 - 21cos^2(x) = A^2

cos^2(x) = (25 - A^2) / 21

Так как 0 ≤ cos^2(x) ≤ 1, то (25 - A^2) / 21 должно быть меньше или равно 1:

(25 - A^2) / 21 ≤ 1

25 - A^2 ≤ 21

A^2 ≥ 4

A ≤ -2 или A ≥ 2

Таким образом, все значения А, при которых уравнение 5sinx + 2cosx = A имеет решение, лежат в интервале (-∞, -2] объединённое с [2, +∞).