Question

Обчисліть площу фігури, обмеженої лініями y=x^2-3x+4, y=4+3x-x^2

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

y=x²-3x+4       y=4+3x-x²

x²-3x+4=4+3x-x²

2x²-6x=0  |÷2

2x²-6x=0

2*x*(x-3)=0  |÷2

x*/(x-3)=0

x₁=0      x₂=3     ⇒

S=₀∫³((4+3x-x²)-(x²-3x+4))dx=₀∫³(4+3x-x²-x²+3x-4)dx=₀∫³(6x-2x²)dx=

=3x²-2x³/3  ₀|³=3*3²-2*3³/3-0=27-18=9.

Ответ: S=9 кв. ед.

Answer 2

Щоб обчислити площу фігури, обмеженої двома заданими кривими, спочатку знайдемо точки їх перетину. Потім інтегруємо різницю функцій між цими точками для знаходження площі між кривими.

1. Знайдемо точки перетину: Поставимо рівняння двох кривих одне до одного і знайдемо їх перетин: y = x^2 - 3x + 4 y = 4 + 3x - x^2

Поставимо їх у рівність: x^2 - 3x + 4 = 4 + 3x - x^2

Тепер розв'яжемо рівняння: 2x^2 - 3x = 0

Факторизуємо: x(2x - 3) = 0

Отримаємо дві значущі точки перетину: x = 0 і x = 3/2.

2. Обчислимо площу: Площа фігури між двома кривими буде дорівнювати інтегралу різниці функцій між цими двома точками.

Площа = ∫[a, b] (f(x) - g(x)) dx, де a і b - точки перетину, f(x) - функція, що обмежує зверху, g(x) - функція, що обмежує знизу.

У нашому випадку f(x) = 4 + 3x - x^2, g(x) = x^2 - 3x + 4.

Таким чином, площа буде дорівнювати: Площа = ∫[0, 3/2] ((4 + 3x - x^2) - (x^2 - 3x + 4)) dx Площа = ∫[0, 3/2] (7x - 2x^2) dx

Щоб обчислити інтеграл, використаємо правило невизначеного інтеграла: ∫(x^n) dx = (x^(n+1))/(n+1) + C, де C - константа інтегрування.

Застосуємо правило до нашого інтегралу: ∫(7x - 2x^2) dx = (7x^2)/2 - (2x^3)/3 + C

Тепер обчислимо інтеграл у межах [0, 3/2]: Площа = [(7*(3/2)^2)/2 - (2*(3/2)^3)/3] - [(70^2)/2 - (20^3)/3] Площа = [(7*(9/4))/2 - (2*(27/8))/3] - [0] Площа = (63/8 - 27/4) - 0 Площа = 63/8 - 27/4 Площа = (63 - 54)/8 Площа = 9/8 або 1.125 квадратних одиниць.

Отже, площа фігури, обмеженої заданими лініями, дорівнює 1.125 квадратних одиниць.