Question

Помогите с решением! Найдите все значения a, такие, что уравнение |2x+1| = x+a имеет единственное решение.

Answer 1

Решение во вложении.

Answer 2

Чтобы уравнение |2x + 1| = x + a имело единственное решение, необходимо, чтобы график модуля |2x + 1| и прямой x + a пересекались в одной точке. Это происходит только тогда, когда прямая x + a касается графика модуля |2x + 1| в одной точке.

Для того чтобы найти все такие значения a, проведем необходимые шаги:

1. Рассмотрим два случая: a) a ≥ 0 б) a < 0

2. Для a ≥ 0: При x ≥ -1/2, уравнение |2x + 1| равно (2x + 1), и решением уравнения будет: 2x + 1 = x + a x = a - 1

   При x < -1/2, уравнение |2x + 1| равно -(2x + 1), и решением уравнения будет: -(2x + 1) = x + a x = -1 - a

   Поскольку у нас должно быть только одно решение, эти два решения должны совпадать: a - 1 = -1 - a

   Решим уравнение для a: a + a = 1 - 1 2a = 0 a = 0

3. Для a < 0: При x ≥ -1/2, уравнение |2x + 1| равно (2x + 1), и решением уравнения будет: 2x + 1 = x + a x = a - 1

   При x < -1/2, уравнение |2x + 1| равно -(2x + 1), и решением уравнения будет: -(2x + 1) = x + a x = -1 - a

   Аналогично предыдущему случаю, решим уравнение для a: a - 1 = -1 - a

   a + a = -1 + 1 2a = 0 a = 0

Таким образом, получаем единственное значение a = 0.