Question

Даю 49 балов, помогите пожалуйста 4sin x-4cos x - 1=0

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

вот

Answer 2

Конечно, я помогу решить уравнение 4sin(x) - 4cos(x) - 1 = 0.

Для начала, давайте перепишем уравнение в более удобном виде, выразив sin(x) и cos(x) через тригонометрическое тождество: sin^2(x) + cos^2(x) = 1. Затем мы заменим sin(x) и cos(x) на новые переменные.

Пусть a = cos(x), тогда sin^2(x) = 1 - a^2, и sin(x) = √(1 - a^2).

Теперь уравнение примет вид:

4√(1 - a^2) - 4a - 1 = 0.

Теперь давайте решим уравнение относительно "a":

4√(1 - a^2) = 4a + 1,

Теперь возведем обе части уравнения в квадрат:

16(1 - a^2) = (4a + 1)^2,

Раскроем скобки:

16 - 16a^2 = 16a^2 + 8a + 1,

Теперь перенесем все члены в одну часть уравнения:

32a^2 + 8a - 15 = 0.

Теперь решим это квадратное уравнение. Можно воспользоваться квадратным уравнением или факторизацией. В данном случае, воспользуемся факторизацией:

(4a - 3)(8a + 5) = 0.

Таким образом, получаем два возможных значения "a":

1. 4a - 3 = 0 => 4a = 3 => a = 3/4,
2. 8a + 5 = 0 => 8a = -5 => a = -5/8.

Теперь нам нужно вернуться к изначальным переменным sin(x) и cos(x). Напомним, что a = cos(x).

1. Если cos(x) = 3/4, то sin(x) = √(1 - (3/4)^2) = √(1 - 9/16) = √(7/16) = √7/4.
2. Если cos(x) = -5/8, то sin(x) = √(1 - (-5/8)^2) = √(1 - 25/64) = √(39/64) = √39/8.

Теперь у нас есть две пары решений:

1. x₁: cos(x) = 3/4, sin(x) = √7/4,
2. x₂: cos(x) = -5/8, sin(x) = √39/8.

Для определения значений x в интервале от 0 до 2π, используйте обратные тригонометрические функции:

1. x₁: x = arccos(3/4), и x = 2π - arccos(3/4),
2. x₂: x = arccos(-5/8), и x = 2π - arccos(-5/8).

Вычислим численные значения:

1. x₁: x ≈ 0.7227 радиан и x ≈ 5.5593 радиан,
2. x₂: x ≈ 2.3162 радиан и x ≈ 4.4596 радиан.

Таким образом, четыре решения уравнения 4sin(x) - 4cos(x) - 1 = 0 в интервале от 0 до 2π:

1. x ≈ 0.7227 радиан,
2. x ≈ 2.3162 радиан,
3. x ≈ 4.4596 радиан,
4. x ≈ 5.5593 радиан.