Question

Решите тригонометрические уравнения: 1) 6sin 2x + 11sin x + 4 = 0 2) 4sin 2x – cos x + 1 = 0 3) 3sin 2x + 11sin x cos x + 6cos 2x = 0 4) 5 tg x – 8ctg x + 6 = 0 5) sin 2x + 1 = 4cos 2x 6) 14cos 2x + 3 = 3cos 2x –10sin 2xРешите пожалуйста очень срочно) Даю 50 баллов​

Answer 1

 4cos^2x - 11sinx - 11 = 0

    4(1-sin²x) - 11sinx - 11 = 0

    4 - 4sin²x - 11sinx - 11 = 0

    - 4sin²x - 11sinx - 7 = 0

    Замена sinx на у, получаем квадратное уравнение:

     -4у² - 11у - 7 = 0

     Квадратное уравнение, решаем относительно y: 

Ищем дискриминант:D=(-11)^2-4*(-4)*(-7)=121-4*(-4)*(-7)=121-(-4*4)*(-7)=121-(-16)*(-7)=121-(-16*(-7))=121-(-(-16*7))=121-(-(-112))=121-112=9;

Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:

y_1=(√9-(-11))/(2*(-4))=(3-(-11))/(2*(-4))=(3+11)/(2*(-4))=14/(2*(-4))=14/(-2*4)=14/(-8)=-14/8=-1.75;

y_2=(-√9-(-11))/(2*(-4))=(-3-(-11))/(2*(-4))=(-3+11)/(2*(-4))=8/(2*(-4))=8/(-2*4)=8/(-8)=-8/8=-1.

Первый корень отбрасываем (больше 1)

 sinx = -1   х = Arc sin(-1) = kπ + ((-1)^k)*(3π/2).

2)3sin^2x + 8sin x cos x + 4cos^2x = 0  

Делим обе части уравнения на cos^2x:

3tg²x + 8tgx + 4 = 0     Замена tgx = у. Получаем квадратное уравнение: 3у² + 8у + 4 = 0.

Квадратное уравнение, решаем относительно y: 

Ищем дискриминант:D=8^2-4*3*4=64-4*3*4=64-12*4=64-48=16;

Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:

y_1=(√16-8)/(2*3)=(4-8)/(2*3)=-4/(2*3)=-4/6=-(2//3)≈-0.666666666666667;

y_2=(-√16-8)/(2*3)=(-4-8)/(2*3)=-12/(2*3)=-12/6=-2.

Обратная замена: tgx₁ = -2/3    х₁ = πn - arc tg(2/3) =  πn -  0.5880026.

                                  tgx₂ = -2      х₂ = πn - arc tg(2) =   πn -  1.107149.

Остальные примеры решаются аналогично.

Answer 2

Давайте решим данные уравнения по очереди:

1. 6sin(2x) + 11sin(x) + 4 = 0

Давайте введем обозначение: t = sin(x). Тогда у нас будет уравнение:

6(2t(1 - t^2)) + 11t + 4 = 0

12t - 6t^3 + 11t + 4 = 0

-6t^3 + 23t + 4 = 0

Теперь мы можем попробовать решить это численно или графически, так как нет общего метода для нахождения аналитического решения.

2. 4sin(2x) – cos(x) + 1 = 0

Для этого уравнения также нет общего метода для нахождения аналитического решения. Можно попробовать численные или графические методы.

3. 3sin(2x) + 11sin(x)cos(x) + 6cos(2x) = 0

Это уравнение также сложно решить аналитически. Попробуйте численные или графические методы.

4. 5tg(x) – 8ctg(x) + 6 = 0

Перепишем тангенсы через синус и косинус: 5(sin(x)/cos(x)) - 8(cos(x)/sin(x)) + 6 = 0.

Умножим обе стороны на sin(x)cos(x), чтобы избавиться от дробей: 5sin^2(x) - 8cos^2(x) + 6sin(x)cos(x) = 0.

Используем тригонометрическую идентичность sin(2x) = 2sin(x)cos(x): 5sin^2(x) - 8(1 - sin^2(x)) + 6(1 - sin^2(x)) = 0.

Раскроем скобки и упростим: 13sin^2(x) - 8 = 0.

Решим это уравнение: sin^2(x) = 8/13. Так как sin^2(x) не может быть больше 1, то данное уравнение не имеет решений.

5. sin(2x) + 1 = 4cos(2x)

Используем тригонометрическую идентичность sin(2x) = 2sin(x)cos(x) и 4cos(2x) = 2(2cos^2(x) - 1):

2sin(x)cos(x) + 1 = 2(2cos^2(x) - 1).

Упростим и перепишем: 2sin(x)cos(x) - 4cos^2(x) = -3.

Поделим обе стороны на cos(x): 2sin(x) - 4cos(x) = -3/cos(x).

Теперь воспользуемся тригонометрической идентичностью sin(x) = √(1 - cos^2(x)):

2√(1 - cos^2(x)) - 4cos(x) = -3/cos(x).

Введем обозначение: t = cos(x), тогда получим уравнение:

2√(1 - t^2) - 4t = -3/t.

Возводим обе стороны в квадрат, чтобы избавиться от корня: 4(1 - t^2) - 16t^2 = 9/t^2.

Упростим: 4 - 4t^2 - 16t^2 = 9/t^2.

Перепишем: 20t^2 + 9/t^2 = 4.

Домножим обе стороны на t^2: 20t^4 + 9 = 4t^2.

Переносим все в одну сторону: 20t^4 - 4t^2 + 9 = 0.

Данное уравнение не имеет решений, так как t^2 не может быть отрицательным.

6. 14cos(2x) + 3 = 3cos(2x) – 10sin(2x)

Переносим все на одну сторону: 14cos(2x) - 3cos(2x) + 10sin(2x) + 3 = 0.

Упростим: 11cos(2x) + 10sin(2x) + 3 = 0.

Теперь мы имеем уравнение с двумя тригонометрическими функциями. Давайте попробуем преобразовать это уравнение, используя тригонометрические идентичности.

Умножим обе стороны на 2: 22cos(2x) + 20sin(2x) + 6 = 0.

Теперь воспользуемся тригонометрической идентичностью cos(2x) = 1 - 2sin^2(x):

22(1 - 2sin^2(x)) + 20sin(2x) + 6 = 0.

Раскроем скобки: 22 - 44sin^2(x) + 20sin(2x) + 6 = 0.

Перепишем 20sin(2x) как 40sin(x)cos(x): 22 - 44sin^2(x) + 40sin(x)cos(x) + 6 = 0.

Переносим все на одну сторону: -44sin^2(x) + 40sin(x)cos(x) + 28 = 0.

Теперь можем воспользоваться тригонометрической идентичностью sin(2x) = 2sin(x)cos(x):

-44(2sin(x)cos(x))^2 + 40sin(x)cos(x) + 28 = 0.

-176sin^2(x)cos