Question

Решите уравнение х^2-3|х|+2/|х|-4 <0

Answer 1

$\frac{x^2-3|x|+2}{|x|-4}$

Домножим неравенство на положительное выражение $\frac{(|x|+1)(|x|+2)}{|x|+4}$

Получаем $\frac{(|x|-1)(|x|+1)(|x|-2)(|x|+2)}{(|x|-4)(|x|+4)}$

$\frac{(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)}{(x-4)(x+4)}$

Дальше применяется стандартный метод интервалов: рисуются на числовой прямой нули числителя и знаменателя и расставляются знаки. Поскольку Ваша задача достаточно продвинутая, я делаю вывод, что учить Вас методу интервалов не надо.

Ответ: $(-4;-2)\cup(-1;1)\cup (2;4)$

Answer 2

Для решения неравенства с модулями, нужно рассмотреть его на разных интервалах, где знак выражения может меняться в зависимости от значения переменной x.

1. Пусть x > 0: В этом случае модуль |x| равен самому x. Тогда уравнение примет вид: x^2 - 3x + 2/x - 4 < 0

2. Пусть x < 0: В этом случае модуль |x| будет равен -x, а 2/|x| будет -2/x. Тогда уравнение примет вид: x^2 + 3x - 2/x - 4 < 0

Теперь решим оба неравенства отдельно.

1. x > 0: x^2 - 3x + 2/x - 4 < 0

Для начала, домножим обе стороны неравенства на x, чтобы избавиться от знаменателя:

x * (x^2 - 3x + 2/x - 4) < 0

Получим:

x^3 - 3x^2 + 2 - 4x < 0

Теперь объединим все слагаемые в один многочлен:

x^3 - 3x^2 - 4x + 2 < 0

2. x < 0: x^2 + 3x - 2/x - 4 < 0

Также, домножим обе стороны неравенства на x, чтобы избавиться от знаменателя:

x * (x^2 + 3x - 2/x - 4) < 0

Получим:

x^3 + 3x^2 - 2 - 4x < 0

Теперь объединим все слагаемые в один многочлен:

x^3 + 3x^2 - 4x - 2 < 0

Теперь решим каждое уравнение для x > 0 и x < 0, используя метод интервалов:

1. Для x > 0: x^3 - 3x^2 - 4x + 2 < 0

Мы знаем, что x > 0, поэтому можем факторизовать выражение:

(x - 2)(x^2 - x - 1) < 0

Найдем корни второго множителя (квадратного уравнения):

x^2 - x - 1 = 0

x = (1 ± √5) / 2

Поскольку x > 0, то x не может быть меньше нуля, поэтому нас интересует только корень (1 + √5) / 2.

2. Для x < 0: x^3 + 3x^2 - 4x - 2 < 0

Мы знаем, что x < 0, поэтому можем факторизовать выражение:

(x + 2)(x^2 + x - 1) < 0

Найдем корни второго множителя (квадратного уравнения):

x^2 + x - 1 = 0

x = (-1 ± √5) / 2

Поскольку x < 0, то нас интересует только корень (-1 - √5) / 2.

Теперь объединим результаты:

1. (1 + √5) / 2 < x < 0
2. (-1 - √5) / 2 < x < (1 + √5) / 2

Поскольку x не может быть одновременно больше 0 и меньше 0, то решением неравенства будет:

(-1 - √5) / 2 < x < 0