Question

Решите неравенство 1)5(2-х)-7(1-x) меньше либо равно 8x 2)x²-3x-4>0 При каких значениях параметра p уравнение 2x²+px-p=0не имеет корней

Answer 1

$5(2 - x) - 7(1 - x) \leqslant 8 \\ 10 - 5x - 7 + 7x \leqslant 8 \\ 2x \leqslant 5 \\ x \leqslant 2.5 \\ 2)x {}^{2} { - 3x - }4 > 0 \\ d = b {}^{2} - 4ac \\ d = ( - 3) {}^{2} - 4 \times ( - 4) = 9 + 16 = 25 \\ \sqrt{25} = 5 \\ x1.2 = \frac{ - b + - \sqrt{d} }{2a} \\ x1 = \frac{3 + 5}{2} = 4 \\ x2 = \frac{3 - 5}{2} = - 1$

Answer 2

1. Решим неравенство 5(2-x) - 7(1-x) ≤ 8x:

Раскроем скобки: 10 - 5x - 7 + 7x ≤ 8x

Упростим: 3 + 2x ≤ 8x

Теперь выразим x на одной стороне неравенства: 2x - 8x ≤ -3

Далее, объединим коэффициенты x: -6x ≤ -3

Чтобы найти значение x, разделим обе стороны на -6, при этом неравенство изменит свой знак: x ≥ 3/6 x ≥ 1/2

Таким образом, решением данного неравенства является x, принадлежащее или равное 1/2 (или x ≥ 0.5).

2. Рассмотрим неравенство x² - 3x - 4 > 0:

Для начала найдем корни уравнения x² - 3x - 4 = 0, используя формулу дискриминанта:

Дискриминант (D) = b² - 4ac где у нас a = 1, b = -3 и c = -4.

D = (-3)² - 4(1)(-4) = 9 + 16 = 25

Так как дискриминант положителен (D > 0), уравнение имеет два различных вещественных корня.

Теперь определим знак выражения x² - 3x - 4 в интервалах между и за пределами корней уравнения:

Пусть x₁ и x₂ - корни уравнения. Значит, для x < x₁, x₁ < x < x₂ и x > x₂, выражение x² - 3x - 4 будет меньше нуля (отрицательным), а для x₁ < x < x₂ - больше нуля (положительным).

Теперь найдем значения корней уравнения x² - 3x - 4 = 0:

x₁ = (-b - √D) / 2a = (3 - √25) / 2 = (3 - 5) / 2 = -2 / 2 = -1 x₂ = (-b + √D) / 2a = (3 + √25) / 2 = (3 + 5) / 2 = 8 / 2 = 4

Таким образом, уравнение имеет два корня: x₁ = -1 и x₂ = 4.

Мы знаем, что в интервале (-∞, -1) и (4, +∞) выражение x² - 3x - 4 будет больше нуля (положительным), а в интервале (-1, 4) - меньше нуля (отрицательным).

Поскольку нам нужно, чтобы выражение было больше нуля (x² - 3x - 4 > 0), ответом будет интервал (-1, 4). То есть решением неравенства является x, принадлежащее интервалу (-1, 4).

3. Найдем значения параметра p, при которых уравнение 2x² + px - p = 0 не имеет корней:

Для того чтобы уравнение не имело корней, дискриминант должен быть отрицательным, т.е.

D = p² - 4(2)(-p) < 0

Упростим:

p² + 8p < 0

Теперь решим это неравенство:

Построим таблицу знаков:

-8 0 8 ------|-----|----- - + +

Таким образом, неравенство выполняется при -8 < p < 0, то есть значение параметра p должно быть в интервале (-8, 0).