Question

Докажите тождество!!!!! 2sin^2α+2cos^2α+tg^2α+ctg^2α= 1/sin^2α*cos^2α

Answer 1

$2Sin^{2}\alpha+2Cos^{2}\alpha+tg^{2}\alpha+Ctg^{2}\alpha=2(Sin^{2}\alpha+Cos^{2}\alpha)+(\frac{Sin^{2}\alpha}{Cos^{2}\alpha}+\frac{Cos^{2}\alpha}{Sin^{2}\alpha})=2+\frac{Sin^{4}\alpha+Cos^{4}\alpha}{Sin^{2}\alpha Cos^{2}\alpha}=\frac{Sin^{4}\alpha+2Sin^{2}\alpha Cos^{2}\alpha+Cos^{4}\alpha}{Sin^{2}\alpha Cos^{2}\alpha}=\frac{(Sin^{2}\alpha+Cos^{2}\alpha)^{2}}{Sin^{2}\alpha Cos^{2}\alpha} =\frac{1}{Sin^{2}\alpha Cos^{2}\alpha}$

$\frac{1}{Sin^{2}\alpha Cos^{2}\alpha}=\frac{1}{Sin^{2}\alpha Cos^{2}\alpha}$

Тождество доказано

Answer 2

Для доказательства данного тождества, начнем с левой стороны и преобразуем её в правую сторону:

1. Начнем с левой стороны: Левая сторона = 2sin^2(α) + 2cos^2(α) + tan^2(α) + cot^2(α)

2. Воспользуемся тригонометрическими тождествами:

   • Тождество для синуса и косинуса: sin^2(α) + cos^2(α) = 1
   • Тождество для тангенса и котангенса: tan(α) = 1/cot(α)

   Подставим эти тождества в левую сторону:

   Левая сторона = 2(1 - cos^2(α)) + 2cos^2(α) + (1/cot^2(α)) + cot^2(α)

   Перепишем cot^2(α) как 1/tan^2(α):

   Левая сторона = 2(1 - cos^2(α)) + 2cos^2(α) + (1/tan^2(α)) + (1/tan^2(α))

   Упростим выражение:

   Левая сторона = 2(1 - cos^2(α)) + 2cos^2(α) + 2/tan^2(α)

3. Подставим теперь тождество для tan(α):

   Левая сторона = 2(1 - cos^2(α)) + 2cos^2(α) + 2/(1/cot^2(α))

   Упростим еще раз:

   Левая сторона = 2(1 - cos^2(α)) + 2cos^2(α) + 2cot^2(α)

4. Теперь используем снова тригонометрическое тождество: 1 - cos^2(α) = sin^2(α):

   Левая сторона = 2sin^2(α) + 2cos^2(α) + 2cot^2(α)

5. Тождество для cot(α): cot(α) = cos(α)/sin(α)

   Подставим это в выражение:

   Левая сторона = 2sin^2(α) + 2cos^2(α) + 2(cos^2(α)/sin^2(α))

6. Теперь объединим члены синуса и косинуса:

   Левая сторона = 2sin^2(α) + 2(cos^2(α)/sin^2(α))

7. Преобразуем слагаемые, чтобы выразить их через sin^2(α) * cos^2(α):

   Левая сторона = (2sin^2(α) * sin^2(α) + 2cos^2(α) * sin^2(α))/sin^2(α)

   Левая сторона = (2sin^4(α) + 2cos^2(α) * sin^2(α))/sin^2(α)

8. Теперь используем тригонометрическое тождество: cos^2(α) = 1 - sin^2(α):

   Левая сторона = (2sin^4(α) + 2(1 - sin^2(α)) * sin^2(α))/sin^2(α)

   Левая сторона = (2sin^4(α) + 2sin^2(α) - 2sin^4(α))/sin^2(α)

   Левая сторона = 2sin^2(α)/sin^2(α)

9. Сократим sin^2(α) в числителе и знаменателе:

   Левая сторона = 2

Таким образом, левая сторона равна 2, и тождество доказано:

2sin^2(α) + 2cos^2(α) + tan^2(α) + cot^2(α) = 2

Не забудьте, что тождество не содержит альфа (α), и поэтому оно верно для любого значения угла.