Question

Помогите пожалуйста! Исследовать сходимость несобственного интеграла

Answer 1

$\int\limits^2_0\, \frac{dx}{\sqrt{4-x^2}}=\lim\limits _{\varepsilon \to 0}\; \int\limits_0^{2-\varepsilon }\, \frac{dx}{\sqrt{4-x^2}}=\lim\limits _{\varepsilon \to 0}\, \Big (\; arcsin\frac{x}{2}\Big |_0^{2-\varepsilon }\Big )=\\\\=\lim\limits _{\varepsilon \to 0}\, \Big (arcsin\frac{2-\varepsilon }{2}-arcsin\, 0\Big )=arcsin\, 1-arcsin\, 0=\frac{\pi}{2}-0=\frac{\pi}{2}\; ;\\\\sxoditsya$

Answer 2

Конечно, я помогу! Для исследования сходимости несобственного интеграла нам нужно определить, сходится ли данный интеграл или расходится. Мы рассмотрим два типа несобственных интегралов: интегралы от функций с бесконечными пределами интегрирования и интегралы от функций с бесконечными или разрывными точками в области интегрирования.

1. Несобственные интегралы первого рода (бесконечные пределы интегрирования): Такой несобственный интеграл сходится, если предел интеграла существует и конечен.

Формально, интеграл от функции f(x) по неограниченному промежутку [a, +∞) или (-∞, b] сходится, если:

∫[a, +∞) f(x) dx = lim (t -> +∞) ∫[a, t] f(x) dx или ∫(-∞, b] f(x) dx = lim (t -> -∞) ∫[t, b] f(x) dx.

2. Несобственные интегралы второго рода (бесконечные или разрывные точки): Такие интегралы сходятся, если они имеют конечные пределы на каждом из конечных интервалов в области интегрирования.

Формально, интеграл от функции f(x) по области с разрывами или бесконечно удаленными точками [a, b] сходится, если:

∫[a, b] f(x) dx = lim (t -> a+) ∫[t, c] f(x) dx + lim (t -> b-) ∫[c, t] f(x) dx,

где c - точка разрыва функции.

Чтобы определить сходимость несобственного интеграла, выполните следующие шаги:

1. Определите тип несобственного интеграла (первого или второго рода).
2. Проверьте, есть ли бесконечные пределы интегрирования или разрывные точки.
3. Рассмотрите поведение функции f(x) около этих точек.
4. Вычислите пределы несобственного интеграла или докажите, что они не существуют.

Если вам нужна помощь с конкретным несобственным интегралом или типом функции, пожалуйста, предоставьте больше информации, и я буду рад помочь вам более конкретно.