Question

Исследовать сходимость ряда, применяя необходимый признак сходимости и признак сравнения. С помощью признака сравнения исследовать на сходимость ряд 1/( 5∙2)+1/(5∙2^2 )+1/(5∙2^3 )+⋯+1/(5∙2^n )+⋯

Answer 1

Для исследования сходимости ряда воспользуемся признаком сравнения.

Признак сравнения гласит, что если для положительных рядов ∑aₙ и ∑bₙ выполняется условие 0 ≤ aₙ ≤ bₙ для всех n ≥ N, где N - некоторое фиксированное натуральное число, и ряд ∑bₙ сходится, то ряд ∑aₙ также сходится. Аналогично, если для всех n ≥ N выполняется условие aₙ ≥ bₙ ≥ 0, и ряд ∑bₙ расходится, то ряд ∑aₙ также расходится.

Рассмотрим ряд ∑(1/(5∙2ⁿ)). Для применения признака сравнения, нам нужно найти сходящийся ряд bₙ, для которого выполняется условие 0 ≤ (1/(5∙2ⁿ)) ≤ bₙ.

Заметим, что (1/(5∙2ⁿ)) ≥ (1/(5∙2ⁿ₊₁)) для любого натурального n. То есть каждый следующий член ряда больше предыдущего.

Рассмотрим ряд ∑(1/(5∙2ⁿ₊₁)). Этот ряд является геометрической прогрессией с первым членом a = 1/(5∙2) и знаменателем q = 1/2. Сумма геометрической прогрессии равна S = a / (1 - q), где |q| < 1. В нашем случае |q| = 1/2 < 1, поэтому ряд сходится.

Теперь мы можем применить признак сравнения: (1/(5∙2ⁿ)) ≤ (1/(5∙2ⁿ₊₁)) ≤ S, где S - сумма ряда ∑(1/(5∙2ⁿ₊₁)).

Таким образом, ряд ∑(1/(5∙2ⁿ)) сходится, так как мы нашли сходящийся ряд ∑(1/(5∙2ⁿ₊₁)), для которого выполняется условие 0 ≤ (1/(5∙2ⁿ)) ≤ (1/(5∙2ⁿ₊₁)) ≤ S.

Ответ: ряд ∑(1/(5∙2ⁿ)) сходится.