Question

Решите неравенство 2/x-4 + 3/x+4 - 5x/x^2-16<0

Answer 1

Вот здесь решение на фотке .

Answer 2

Для решения данного неравенства, следует выполнить следующие шаги:

1. Найти общий знаменатель для всех слагаемых.
2. Привести все слагаемые к общему знаменателю.
3. Решить полученное уравнение.
4. Найти интервалы, удовлетворяющие неравенству.

Итак, начнем:

1. Общий знаменатель для всех слагаемых - это (x^2 - 16), так как это разность квадратов в знаменателе, которую можно факторизовать как (x + 4)(x - 4).

2. Приведем все слагаемые к общему знаменателю:

(2 / (x - 4)) + (3 / (x + 4)) - (5x / (x^2 - 16)) < 0

Первое слагаемое (2 / (x - 4)) умножим на (x + 4) / (x + 4):

(2 * (x + 4) / ((x - 4)(x + 4))) + (3 / (x + 4)) - (5x / (x^2 - 16)) < 0

Второе слагаемое (3 / (x + 4)) умножим на (x - 4) / (x - 4):

(2 * (x + 4) / ((x - 4)(x + 4))) + (3 * (x - 4) / ((x + 4)(x - 4))) - (5x / (x^2 - 16)) < 0

Теперь у нас все слагаемые имеют общий знаменатель:

(2x + 8 + 3x - 12 - 5x) / (x^2 - 16) < 0

Складываем числители:

(2x + 3x - 5x + 8 - 12) / (x^2 - 16) < 0

(0x + (-1)) / (x^2 - 16) < 0

(-1) / (x^2 - 16) < 0

3. Теперь решим уравнение (-1) / (x^2 - 16) = 0, чтобы найти точки разрыва функции:

x^2 - 16 = 0

(x + 4)(x - 4) = 0

x = 4 или x = -4

Это значит, что у нас есть две вертикальные асимптоты: x = 4 и x = -4.

4. Чтобы определить интервалы, где неравенство выполняется, используем метод проверки знака в каждом интервале:

• Выберем тестовую точку в первом интервале: x = 0 Подставим x = 0 в исходное неравенство: (-1) / (0^2 - 16) = (-1) / (-16) > 0 (деление отрицательного числа на отрицательное даёт положительное) Условие не выполняется в этом интервале.

• Выберем тестовую точку во втором интервале: x = -5 Подставим x = -5 в исходное неравенство: (-1) / ((-5)^2 - 16) = (-1) / (25 - 16) = (-1) / 9 < 0 Условие выполняется в этом интервале.

• Выберем тестовую точку в третьем интервале: x = 1 Подставим x = 1 в исходное неравенство: (-1) / ((1)^2 - 16) = (-1) / (1 - 16) = (-1) / (-15) > 0 Условие не выполняется в этом интервале.

• Выберем тестовую точку в четвёртом интервале: x = 6 Подставим x = 6 в исходное неравенство: (-1) / ((6)^2 - 16) = (-1) / (36 - 16) = (-1) / 20 < 0 Условие выполняется в этом интервале.

Таким образом, неравенство выполняется на интервалах (-∞, -4) и (4, ∞). Вертикальные асимптоты x = -4 и x = 4 разделяют области, где неравенство выполняется и не выполняется.