Question

ПОМОГИТЕ, пожалуйста, решить уравнение!! 50 баллов! log3(x-5)^2-4=log√3(x-1)

Answer 1

log₃(x-5)²- 4 = log√3(x-1);

ОДЗ: x ≠ 5 и x > 1.

log₃(x-5)² = log₃(x-1)² + 4;

log₃(x-5)² = log₃(x-1)² + log₃81;

log₃(x-5)² = log₃((x-1)²·81);

(x-5)² = 81(x-1)²;

x² - 10x + 25 = 81x² - 162x + 81;

81x² - 162x + 81 - x² + 10x - 25 = 0;

80x² - 152x + 56 = 0|:8;

10x² - 19x + 7 = 0

D = 361 - 280 = 81; √D = 9;

x₁ = (19 - 9)/20 = 1/2 - Не удовлетворяет ОДЗ

x₂ = (19 + 9)/20 = 28/20 = 7/5 = 1,4

Ответ: 1,4.

Answer 2

Конечно, я помогу вам решить уравнение. Давайте решим его шаг за шагом:

1. Начнем с упрощения логарифмов, используя свойства логарифмов:

   • Правило 1: logₐ(b^c) = c * logₐ(b)
   • Правило 2: logₐ(b) + logₐ(c) = logₐ(b * c)
   • Правило 3: logₐ(b) - logₐ(c) = logₐ(b / c)

2. Упростим левую часть уравнения: log₃((x - 5)^2) - 4 = 2 * log₃(x - 5) - 4

3. Теперь упростим правую часть уравнения: log√₃(x - 1) = log₃((x - 1)^(1/2)) = (1/2) * log₃(x - 1)

Теперь уравнение стало выглядеть следующим образом:

2 * log₃(x - 5) - 4 = (1/2) * log₃(x - 1)

4. Приравняем обе части уравнения к нулю, чтобы избавиться от логарифмов: 2 * log₃(x - 5) - 4 - (1/2) * log₃(x - 1) = 0

5. Теперь преобразуем выражение: 2 * log₃(x - 5) - (1/2) * log₃(x - 1) - 4 = 0

6. Объединим логарифмы с одинаковым основанием: log₃((x - 5)²) - log₃((x - 1)^(1/2)) - 4 = 0

7. Преобразуем логарифмы с разными основаниями: log₃((x - 5)²) - (1/2) * log₃(x - 1) - 4 = 0

8. Используем правило logₐ(b) = c, равносильное a^c = b: (x - 5)² = 3^((1/2) * log₃(x - 1) + 4)

9. Подставим значение логарифма: (x - 5)² = 3^((1/2) * (log₃(x - 1) + 8))

10. Теперь избавимся от степени, используя свойство: a^(b * c) = (a^b)^c: (x - 5)² = (3^(log₃(x - 1) + 8))^(1/2)

11. Так как 3^(log₃(x - 1) + 8) и (3^(log₃(x - 1)))^2 эквивалентны, мы можем записать: (x - 5)² = (3^(log₃(x - 1)))^2

12. Теперь избавимся от степени квадрата, применяя корень к обеим сторонам: x - 5 = 3^(log₃(x - 1))

13. Перепишем уравнение в экспоненциальной форме: 3^(log₃(x - 1)) = x - 5

14. Так как логарифм и показательная функция с одинаковым основанием "3" аннулируют друг друга, остается: x - 1 = x - 5

15. Теперь решим получившееся уравнение: x - x = -5 + 1

16. Упростим: 0 = -4

Ответ: уравнение не имеет действительных корней. Возможно, вы допустили ошибку в записи уравнения или в его постановке. Пожалуйста, проверьте условие уравнения еще раз.