Question

При яких значеннях а рівняння x^2 + (a+5)x + 1 = 0 має два дійсні різні корені?

Answer 1

Когда дискриминант больше нуля.

(а+5)²-4>0

а²-10а+25-4>0

а²-10а+21>0

(а-7)(а-3)>0

Решая неравенство методом интервалов, получим, что рассматриваемому промежутку приндлежит икс,где левая часть больше нуля. Это объединение интервалов.

х∈(-∞;3)∪(7;+∞)

Answer 2

Для того, щоб рівняння $x^2 + (a+5)x + 1 = 0$ мало два дійсні різні корені, дискримінант $D$ цього квадратного рівняння повинен бути більший за нуль. Дискримінант $D$ обчислюється за формулою $D = b^2 - 4ac$, де $b$ - коефіцієнт при $x$ (у нашому випадку $a+5$), $a$ - коефіцієнт при $x^2$ (у нашому випадку 1), $c$ - вільний член (у нашому випадку 1).

Таким чином, ми маємо:

$D = (a+5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = a^2 + 10a + 25 - 4 = a^2 + 10a + 21$

Рівняння матиме два дійсні різні корені, коли $D > 0$. Тобто:

$a^2 + 10a + 21 > 0$

Тепер нам потрібно знайти значення $a$, при яких ця нерівність виконується. Один зі способів - скористатися факторизацією:

$a^2 + 10a + 21 = (a + 7)(a + 3)$

Отже, умова $a^2 + 10a + 21 > 0$ перетворюється на умову:

$(a + 7)(a + 3) > 0$

Тепер розглянемо два випадки:

1. $(a + 7) > 0$ і $(a + 3) > 0$

   Це виконується, коли $a > -7$ і $a > -3$. Найменше значення $a$ має бути більше -3.

2. $(a + 7) < 0$ і $(a + 3) < 0$

   Це виконується, коли $a < -7$ і $a < -3$. Найбільше значення $a$ має бути менше -3.

Таким чином, умова для існування двох дійсних різних коренів рівняння $x^2 + (a+5)x + 1 = 0$ - це $a$ повинне належати відкритому інтервалу $(-7, -3)$.