Question

Найти точки экстремума функции y = x / ( 1 + x^2)

Answer 1

Ответ:

x = ±1

Объяснение:

Находим производную функции

$y' = \frac{(1+x^2) - 2x^2}{(1+x^2)^4} = \frac{1-x^2}{(1+x^2)^4}$

Приравнивая производную к нулю, получим точки x = ±1

Нетрудно убедиться, что данные точки действительно экстремумы функции, т.к. на интервале (-∞; -1) производная отрицательная (функция убывает), на (-1; 1) - положительная (функция возрастает), и на (1; +∞) снова отрицательное (функция убывает)

Answer 2

Ответ: 1;-1

Объяснение:

Нахожу производную от функции приравниваю к 0 и все

Answer 3

Чтобы найти точки экстремума функции, нужно найти значения x, при которых производная функции равна нулю или не существует. Такие точки называются критическими точками. Далее, проверим знак производной в окрестности каждой критической точки, чтобы определить, является ли точка экстремумом.

Дана функция y = x / (1 + x^2). Давайте найдем ее производную и приравняем ее к нулю:

y = x / (1 + x^2) y' = (1 + x^2)^(-1) - x*(1 + x^2)^(-2) * 2x y' = (1 + x^2)^(-1) - 2x^2 / (1 + x^2)^2

Теперь приравняем производную к нулю и найдем критические точки:

(1 + x^2)^(-1) - 2x^2 / (1 + x^2)^2 = 0

Для упрощения, умножим обе стороны уравнения на (1 + x^2)^2:

1 - 2x^2 = 0

Теперь перенесем все в одну сторону:

2x^2 = 1

Теперь разделим обе стороны на 2:

x^2 = 1/2

И, наконец, возьмем квадратный корень от обеих сторон:

x = ± sqrt(1/2)

Таким образом, получаем две критические точки: x = sqrt(1/2) и x = -sqrt(1/2).

Для определения типа точек экстремума, нужно проанализировать знак производной в окрестности каждой критической точки.

1. Когда x близко к sqrt(1/2): Подставим значение x = sqrt(1/2) - ε в производную, где ε - небольшое положительное число, близкое к нулю:

y'(sqrt(1/2) - ε) ≈ (1 + (sqrt(1/2) - ε)^2)^(-1) - 2(sqrt(1/2) - ε)^2 / (1 + (sqrt(1/2) - ε)^2)^2

Заметим, что (1 + (sqrt(1/2) - ε)^2) > 1, и оба слагаемых будут положительными, так как они являются обратными значениями. Это означает, что производная положительна в точке x = sqrt(1/2) (при x, близком к sqrt(1/2)), и функция возрастает в этой окрестности. Таким образом, x = sqrt(1/2) является точкой минимума.

2. Когда x близко к -sqrt(1/2): Подставим значение x = -sqrt(1/2) + ε в производную, где ε - небольшое положительное число, близкое к нулю:

y'(-sqrt(1/2) + ε) ≈ (1 + (-sqrt(1/2) + ε)^2)^(-1) - 2(-sqrt(1/2) + ε)^2 / (1 + (-sqrt(1/2) + ε)^2)^2

Опять же, заметим, что (1 + (-sqrt(1/2) + ε)^2) > 1, и оба слагаемых будут положительными. Однако, в данном случае, прибавление ε к -sqrt(1/2) сделает оба слагаемых отрицательными. Это означает, что производная отрицательна в точке x = -sqrt(1/2) (при x, близком к -sqrt(1/2)), и функция убывает в этой окрестности. Таким образом, x = -sqrt(1/2) является точкой максимума.

Итак, функция y = x / (1 + x^2) имеет точку минимума при x = sqrt(1/2) и точку максимума при x = -sqrt(1/2).