Question

Числа a, b, c попарно различные действительные числа, удовлетворяющие равенствам 2a+3/b=2b+3/c=2c+3/a. Найдите значение произведения abc​

Answer 1

$\frac{2a+3}{b}=\frac{2b+3}{c}\Rightarrow(2a+3)\cdot c=(2b+3)\cdot b\\\\\frac{2a+3}{b}=\frac{2c+3}{a}\Rightarrow(2a+3)\cdot a=(2c+3)\cdot b\\\\\frac{2b+3}{c}=\frac{2c+3}{a}\Rightarrow(2b+3)\cdot a=(2c+3)\cdot c$

$2ac+3c=2b^2+3b\\\\2bc+3b=2a^2+3a\\\\2ab+3a=2c^2+3c$

Складываем:

2ac+3c+2bc+3b+2ab+3a=2b²+3b+2a²+3a+2c²+3c

(2ab+2bc+2ac)+(3a+3b+3c)=(2a²+2b²+2c²)+(3a+3b+3c)

(2ab+2bc+2ac)=(2a²+2b²+2c²)

ab+bc+ac=a²+b²+c²

$2ac+3c=2b^2+3b\\\\2bc+3b=2a^2+3a\\\\2ab+3a=2c^2+3c$

Умножаем первое равенство на b, второе на а, третье на с

$2abc+3bc=2b^3+3b^2\\\\2abc+3ab=2a^3+3a^2\\\\2abc+3ac=2c^3+3c^2$

Складываем:

6abc+3(ab+bc+ac)=2(a³+b³+c³)+3(a^2+b^2+c^2)

6abc=2(a³+b³+c³)

abc=(a³+b³+c³)/3

О т в е т. abc=(a³+b³+c³)/3

Answer 2

Для нахождения значения произведения abc, воспользуемся данной системой уравнений:

1. 2a + 3/b = 2b + 3/c
2. 2b + 3/c = 2c + 3/a
3. 2c + 3/a = 2a + 3/b

Давайте решим эту систему уравнений.

Сначала приравняем уравнение (1) и (2):

2a + 3/b = 2b + 3/c

2a - 2b = 3/c - 3/b

2(a - b) = 3(1/c - 1/b)

2(a - b) = 3(b - c) / bc

Теперь, приравняем уравнение (2) и (3):

2b + 3/c = 2c + 3/a

2b - 2c = 3/a - 3/c

2(b - c) = 3(1/a - 1/c)

2(b - c) = 3(c - a) / ac

Теперь, приравняем уравнение (3) и (1):

2c + 3/a = 2a + 3/b

2c - 2a = 3/b - 3/a

2(c - a) = 3(1/b - 1/a)

2(c - a) = 3(a - b) / ab

Мы получили систему уравнений:

1. 2(a - b) = 3(b - c) / bc
2. 2(b - c) = 3(c - a) / ac
3. 2(c - a) = 3(a - b) / ab

Теперь домножим все уравнения на abc, чтобы избавиться от знаменателей:

1. 2(a - b) * abc = 3(b - c) * a
2. 2(b - c) * abc = 3(c - a) * b
3. 2(c - a) * abc = 3(a - b) * c

Раскроем скобки:

1. 2abc(a - b) = 3ab - 3ac
2. 2abc(b - c) = 3bc - 3ab
3. 2abc(c - a) = 3ac - 3bc

Теперь приведем уравнения к общему знаменателю:

1. 2abc(a - b) = 3ab - 3ac
2. 2abc(b - c) = 3bc - 3ab
3. 2abc(c - a) = 3ac - 3bc

Теперь сложим все уравнения:

2abc(a - b + b - c + c - a) = 3ab - 3ac + 3bc - 3ab + 3ac - 3bc

Упростим:

2abc(0) = 0

Таким образом, получаем:

0 = 0

Это уравнение верно для любых a, b и c. Отсюда следует, что исходная система уравнений имеет бесконечное множество решений. Мы не можем определить конкретные значения для a, b и c.

Следовательно, значение произведения abc будет зависеть от выбора значений a, b и c, и его невозможно определить без дополнительных условий.