Question

Теорема про відношення між середнім арифметичним і середнім геометричним​

Answer 1

Среднее арифметическое (A) никогда не превосходит (>=) среднего геометрического (G).

$\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \cdot ... \cdot a_n}$

Answer 2

Теорема про відношення між середнім арифметичним і середнім геометричним є важливою теоремою в математиці, яка встановлює зв'язок між цими двома типами середніх значень.

Нехай маємо послідовність невід'ємних чисел $a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n$. Середнє арифметичне цієї послідовності обчислюється як сума всіх чисел, поділена на їх кількість, тобто:

$A = \frac{a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_n}{n}$

Середнє геометричне послідовності визначається як корінь n-го степеня з добутку всіх чисел, тобто:

$G = \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \cdot \ldots \cdot a_n}$

Теорема про відношення між середнім арифметичним і середнім геометричним стверджує, що середнє геометричне не перевищує середнього арифметичного, тобто $G \leq A$. Рівність досягається тільки у випадку, коли всі числа в послідовності однакові, тобто $a_1 = a_2 = a_3 = \ldots = a_n$.

Ця теорема має широкі застосування в різних галузях математики, фізики, економіки та інших наук, де важливо порівнювати середні значення числових величин. Вона надає деякі теоретичні гарантії про те, як можна оцінити середнє значення на основі даної послідовності чисел.