Question

Множество решений неравенства √3+x>√x^2-4x+3 является промежутком

Answer 1

Находим область допустимых значений:

$\sqrt{3 + x} > \sqrt{x ^{2} - 4x + 3 }$

Возводим оба выражения в квадрат:

$\sqrt{3 + x}^{2} > \sqrt{x ^{2} - 4x + 3 }^{2}$

Убираем равные слагаемые:

$3 + x > x^{2} - 4x + 3$

$x > x^{2} - 4x$

$x - x^{2} + 4x > 0$

$5x - x^{2} > 0$

$x \times (5 - x) > 0$

Решаем систему неравенств:

Это система:

$x > 0 \\ x - 5 > 0$

$x < 0 \\x - 5 < 0$

$x > 0 \\ x$

$x < 0 \\ x > 5$

$x(e) = (0;1]u[3;5)$

Answer 2

Давайте решим данное неравенство:

√3 + x > √(x^2 - 4x + 3)

Перенесем все в одну сторону:

x - √(x^2 - 4x + 3) > -√3

Теперь возводим обе части неравенства в квадрат (заметьте, что мы можем это сделать, так как корни являются неотрицательными значениями):

(x - √(x^2 - 4x + 3))^2 > (-√3)^2

x^2 - 2x√(x^2 - 4x + 3) + (x^2 - 4x + 3) > 3

x^2 - 2x√(x^2 - 4x + 3) + x^2 - 4x + 3 - 3 > 0

2x^2 - 6x + 2x√(x^2 - 4x + 3) - 4 > 0

2(x^2 - 3x + √(x^2 - 4x + 3)) - 4 > 0

(x^2 - 3x + √(x^2 - 4x + 3)) - 2 > 0

Теперь рассмотрим два случая:

Случай 1: x^2 - 3x + √(x^2 - 4x + 3) - 2 > 0

В этом случае корень положительный и мы можем убрать его:

x^2 - 3x + x^2 - 4x + 3 - 2 > 0

2x^2 - 7x + 1 > 0

Случай 2: x^2 - 3x + √(x^2 - 4x + 3) - 2 < 0

В этом случае корень отрицательный и мы должны изменить знак неравенства:

x^2 - 3x + x^2 - 4x + 3 - 2 < 0

2x^2 - 7x + 1 < 0

Теперь найдем корни квадратного трехчлена:

D = (-7)^2 - 4 * 2 * 1 = 49 - 8 = 41

x = (7 ± √41) / 4

Так как коэффициент при x^2 положителен (2 > 0), у нас есть следующие промежутки:

1. Для 2x^2 - 7x + 1 > 0:

(7 - √41) / 4 < x < (7 + √41) / 4

2. Для 2x^2 - 7x + 1 < 0:

(7 - √41) / 4 > x или x > (7 + √41) / 4

Таким образом, множество решений неравенства √3 + x > √(x^2 - 4x + 3) представлено двумя промежутками:

1. (7 - √41) / 4 < x < (7 + √41) / 4

2. x < (7 - √41) / 4 или x > (7 + √41) / 4