Question

Докажите тождество 1-2sin^2a/sina cosa=tga-ctga

Answer 1

(1-2sin²a)/sincosa=(sin²a+cos²a-2sin²a)/

sinacosa =(cos²a-sin²a)/sinacosa=
ctga-tga

Answer 2

Для доказательства данного тождества, начнем с левой стороны и преобразуем её с использованием тригонометрических тождеств:

1 - 2sin^2(a) / (sin(a) * cos(a))

Сначала заменим sin^2(a) на (1 - cos^2(a)) с помощью тождества sin^2(a) + cos^2(a) = 1:

1 - 2(1 - cos^2(a)) / (sin(a) * cos(a))

Теперь раскроем скобки:

1 - 2 + 2cos^2(a) / (sin(a) * cos(a))

Объединим числитель:

(2cos^2(a) - 1) / (sin(a) * cos(a))

Теперь вспомним определение тангенса и котангенса:

tan(a) = sin(a) / cos(a) ctan(a) = cos(a) / sin(a)

Подставим их в числитель:

2cos^2(a) - 1 = 2cos^2(a) - cos^2(a) = cos^2(a)

Теперь вернемся к исходному выражению:

cos^2(a) / (sin(a) * cos(a))

Используем тождество cos(a) / sin(a) = ctan(a):

cos^2(a) * ctan(a)

Наконец, используем еще одно тригонометрическое тождество: cos^2(a) = 1 - sin^2(a):

(1 - sin^2(a)) * ctan(a)

Теперь заменим tan(a) на sin(a) / cos(a):

(1 - sin^2(a)) * (sin(a) / cos(a))

Используем распределительный закон:

sin(a) - sin^3(a) / cos(a)

Теперь заменим sin^2(a) на 1 - cos^2(a) и разделим числитель на cos(a):

sin(a) - (1 - cos^2(a)) / cos(a)

Пользуемся тригонометрическим тождеством sin(a) / cos(a) = tg(a):

sin(a) - (1 - cos^2(a)) / cos(a) = tg(a) - (1 - cos^2(a)) / cos(a)

Теперь заменим 1 на cos^2(a) / cos^2(a):

tg(a) - (cos^2(a) / cos^2(a) - cos^2(a)) / cos(a)

Приведем числитель к общему знаменателю:

tg(a) - (cos^2(a) - cos^2(a)) / cos^2(a)

Теперь упростим:

tg(a) - 0 / cos^2(a) = tg(a)

Таким образом, левая сторона равна tg(a), что соответствует правой стороне тождества. Таким образом, тождество доказано.