Question

Найдите значение производной от функции f(z)=z^3+1/z^2 в точке z0=i/2. В ответ введите мнимую часть результата, округлив до трёх цифр после десятичной точки.

Answer 1

f(z)=z³+z^(-2)

f'(z)=3z²-2z^(-3)

f'(i/2)=-3/4 - 16/(i³)=-3/4-16i

Im(f'(i/2))=-16

Answer 2

Для нахождения значения производной функции f(z) в точке z0=i/2, мы можем использовать правило дифференцирования степенной функции и обратной функции. Давайте применим это правило:

f(z) = z^3 + 1/z^2

Для нахождения производной этой функции, мы возьмем производные каждого слагаемого и сложим их:

f'(z) = (d/dz)(z^3) + (d/dz)(1/z^2)

Для первого слагаемого, применяя правило дифференцирования степенной функции, получим:

(d/dz)(z^3) = 3z^2

Для второго слагаемого, применяя правило дифференцирования обратной функции, получим:

(d/dz)(1/z^2) = -2/z^3

Теперь найдем значение производной в точке z0=i/2, подставив z=i/2 в найденные производные:

f'(i/2) = 3(i/2)^2 - 2/(i/2)^3

Упростим это выражение:

f'(i/2) = 3(i^2/4) - 2/(i^3/8) = 3i^2/4 - 16/(i^3) = 3(-1)/4 - 16/(-i) = -3/4 + 16i

Таким образом, значение производной функции f(z) в точке z0=i/2 равно -3/4 + 16i.

Мнимая часть этого значения равна 16. Следовательно, ответ равен 16.