Question

Найдите значение производной от функции f(z)=(z+z^2)^5+(z+i)^3 в точке z0=i−1. В ответ введите мнимую часть результата, округлив до трёх цифр после десятичной точки.

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

f(z)=z³+z^(-2)

f'(z)=3z²-2z^(-3)

f'(i/2)=-3/4 - 16/(i³)=-3/4-16i

Im(f'(i/2))=-16

Answer 2

Для нахождения значения производной функции f(z) = (z + z^2)^5 + (z + i)^3 в точке z0 = i - 1, мы будем использовать правило дифференцирования для суммы и степенной функции, а также правило дифференцирования для комплексной функции.

Давайте разобьем функцию на две части и вычислим их производные по отдельности:

Первая часть: (z + z^2)^5 Применим правило дифференцирования степенной функции: d/dz (u^n) = n * u^(n-1) * du/dz Здесь u = z + z^2 и n = 5. Таким образом, производная первой части будет: d/dz (z + z^2)^5 = 5 * (z + z^2)^4 * (1 + 2z)

Вторая часть: (z + i)^3 Применим правило дифференцирования для комплексной функции: d/dz (u + iv) = du/dz + i * dv/dz Здесь u = z, v = i и i - мнимая единица. Таким образом, производная второй части будет: d/dz (z + i)^3 = 1 + 3i

Теперь найдем значения производных в точке z0 = i - 1:

1. Заменим z в выражении 5 * (z + z^2)^4 * (1 + 2z) на z0: z0 = i - 1 Подставляем: 5 * (i - 1 + (i - 1)^2)^4 * (1 + 2(i - 1)) = 5 * (i - 1 + (-1 + 2i - i^2))^4 * (1 + 2i - 2) = 5 * (i - 1 + (-1 + 2i + 1))^4 * (1 + 2i - 2) = 5 * (i - 1 + 2i)^4 * (1 + 2i - 2) = 5 * (3i - 1)^4 * (1 + 2i - 2) = 5 * (9i^4 - 12i^3 + 6i^2 - 1) * (1 + 2i - 2) = 5 * (-12i + 6i^2 - 1) * (-1 + 2i) = 5 * (-12i + 6(-1) - 1) * (-1 + 2i) = 5 * (-12i - 6 - 1) * (-1 + 2i) = 5 * (-12i - 7) * (-1 + 2i) = 5 * (12i + 7) * (2i - 1) = 5 * (24i^2 + 14i + 7 - 12i - 7) = 5 * (24(-1) + 2i) = 5 * (-24 + 2i) = -120 + 10i

2. Заменим z в выражении 1 + 3i на z0: z0 = i - 1 Подставляем: 1 + 3i

Теперь найдем значение производной функции f(z) в точке z0 = i - 1: d/dz f(z) = d/dz [(z + z^2)^5 + (z + i)^3] = d/dz [(z + z^2)^5] + d/dz [(z + i)^3] = 5 * (z + z^2)^4 * (1 + 2z) + 1 + 3i

Подставим значения производных первой и второй частей, а затем заменим z на z0: d/dz f(z) = (-120 + 10i) + 1 + 3i = -119 + 13i

Таким образом, мнимая часть результата равна 13. Ответ: 13.