Question

1.При каких a уравнение имеет два корня разных знаков: ax^2-(a+3)x+2=0 2. Найти все a, для которых имеет два положительных корня уравнение: x^2-2(a-1)x+2a+1

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

1) ax^2 - (a+3)x + 2 = 0

При а=0 уравнение имеет 1 корень

-3x + 2 = 0; x = 2/3; не подходит.

При а не = 0 будет квадратное уравнение.

D = (a+3)^2 - 4*a*2 = a^2+6a+9-8a = a^2 - 2a + 9 > 0 при любом а не = 0.

Значит, уравнение имеет два корня.

Нам нужно, чтобы корни были разных знаков.

x1 = ((a+3) - √(a^2-2a+9))/2 < 0

x2 = ((a+3) + √(a^2-2a+9))/2 > 0

Умножаем на 2 корни

(a+3) - √(a^2-2a+9) < 0

(a+3) + √(a^2-2a+9) > 0

Отделяем корни

√(a^2-2a+9) > (a+3)

√(a^2-2a+9) > -(a+3)

Корень арифметический, то есть неотрицательный.

При а < -3 корень в 1 неравенстве больше отрицательного числа, что верно при любом а.

Корень во 2 неравенстве при этом больше положительного числа.

a^2-2a+9 > a^2+6a+9

8a < 0; a < 0

Решение а < -3

При а >= -3 и а не = 0 наоборот, корень во 2 неравенстве больше отрицательного числа, а в 1 неравенстве больше положительного.

Неравенство такое же

8a < 0; a < 0

Решение a € [-3; 0)

Ответ а < 0

2) x^2 - 2(a-1)x + (2a+1) = 0

Это уравнение квадратное при любом а.

D/4 = (a-1)^2 - (2a+1) = a^2-2a+1-2a-1 = a^2-4a > 0

a(a-4) > 0

a € (-oo; 0) U (4; +oo)

x1 = (a-1) - √(a^2-4a) > 0

x2 = (a-1) + √(a^2-4a) > 0

Если 1 неравенство верно, то 2 неравенство верно автоматически.

√(a^2-4a) < (a-1)

a^2 -4a < a^2-2a+1

4a-2a+1 > 0

2a > -1

Ответ: а € (-1/2; 0) U (4; +oo)

Answer 2

1. Чтобы уравнение имело два корня разных знаков вида ax^2 - (a + 3)x + 2 = 0, необходимо, чтобы дискриминант был положительным и коэффициент 'a' был отрицательным.

Дискриминант вычисляется по формуле D = b^2 - 4ac, где в данном случае a = a, b = -(a + 3) и c = 2.

Подставим значения в формулу дискриминанта: D = (-(a + 3))^2 - 4(a)(2) D = (a + 3)^2 - 8a

Для двух корней разных знаков, D > 0, и a < 0.

Решим неравенство: (a + 3)^2 - 8a > 0 a^2 + 6a + 9 - 8a > 0 a^2 - 2a + 9 > 0

Для решения этого квадратного неравенства можно применить метод интервалов. Факторизуем его: (a - 1)(a - 1) > 0

Из факторизации видно, что (a - 1)^2 = 0, а это значит, что неравенство равно нулю при a = 1.

Поскольку a^2 - 2a + 9 > 0 для всех значений a, отличных от 1, то уравнение ax^2 - (a + 3)x + 2 = 0 имеет два корня разных знаков для всех значений a < 1.

2. Чтобы уравнение x^2 - 2(a - 1)x + 2a + 1 имело два положительных корня, необходимо, чтобы дискриминант был положительным.

Дискриминант D = b^2 - 4ac, где a = 1, b = -2(a - 1) и c = 2a + 1.

Подставим значения в формулу дискриминанта: D = (-2(a - 1))^2 - 4(1)(2a + 1) D = 4(a - 1)^2 - 8a - 4 D = 4a^2 - 8a + 4 - 8a - 4 D = 4a^2 - 16a

Чтобы D > 0, необходимо, чтобы 4a^2 - 16a > 0. Факторизуем это неравенство: 4a(a - 4) > 0

Решим неравенство по методу интервалов: a(a - 4) > 0

Получаем два интервала: (-∞, 0) и (4, +∞).

Таким образом, для всех значений a в интервале (-∞, 0) и (4, +∞), уравнение x^2 - 2(a - 1)x + 2a + 1 имеет два положительных корня.