Question

Если в положительной геометрической прогрессии произведение второго и восьмого членов равно 9, а произведение шестого и восьмого членов равно 16. Чему равен шестой член данной геометрической прогрессии?

Answer 1

Пусть $b_n$ - геометрическая прогрессия. По условию $b_2\cdot b_8=9;~ b_6\cdot b_8=16$, по формуле n-го члена геометрической прогрессии мы имеем

$\displaystyle \left \{ {{b_1q\cdot b_1q^7=9} \atop {b_1q^5\cdot b_1q^7=16}} \right.~~~\Rightarrow~~~\left \{ {{b_1^2q^8=9} \atop {b_1^2q^{12}=16}} \right.~~~\Rightarrow~~~\left \{ {{b_5^2=9} \atop {b_5^2q^4=16}} \right.\\ \\ 9q^4=16\\ \\ q^4=\dfrac{16}{9}~~~\Rightarrow~~~ q=\pm\sqrt[4]{\dfrac{16}{9}}=\pm\dfrac{2}{\sqrt{3}}$

Поскольку по условию геометрическая прогрессия положительная, то нам подходит лишь q > 0.

$b_1^2q^8=9~~~\Rightarrow~~~ (b_1q^5)^2\cdot q^{-2}=9~~~\Rightarrow~~~ b_6^2=9q^2=9\cdot \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^2=12\\ \\ b_6=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$

Answer 2

Пусть первый член геометрической прогрессии равен a, а знаменатель прогрессии равен q.

Из условия известно, что произведение второго и восьмого членов равно 9, то есть aq^1 * aq^7 = 9.

Аналогично, произведение шестого и восьмого членов равно 16, то есть aq^5 * aq^7 = 16.

Мы можем разделить эти два уравнения, чтобы избавиться от неизвестного a:

(aq^1 * aq^7) / (aq^5 * aq^7) = 9 / 16.

Simplifying:

q^2 = 9 / 16.

Теперь возьмем квадратный корень от обеих сторон, чтобы найти значение q:

q = sqrt(9 / 16) = 3 / 4.

Итак, мы нашли значение знаменателя прогрессии q.

Чтобы найти шестой член прогрессии, мы можем использовать формулу общего члена геометрической прогрессии:

a_n = a * q^(n-1).

Таким образом, шестой член геометрической прогрессии будет:

a_6 = a * (3/4)^(6-1).

a_6 = a * (3/4)^5.

Теперь у нас есть выражение для шестого члена геометрической прогрессии, но нам неизвестно значение a. Информации для определения значения a недостаточно.