Question

Найти R и r для треугольника ABC если АВ=4 АС=6 угол А=60°​

Answer 1

По теореме косинусов

$BC^2=AB^2+AC^2-2AB\cdot AC\cdot \cos \angle A\\ \\ BC^2=4^2+6^2-2\cdot 4\cdot 6\cdot \cos 60^\circ\\ \\ BC^2=16+36-2\cdot 24\cdot \dfrac{1}{2}\\ \\ BC^2=28\\ \\ BC=2\sqrt{7}$

По теореме синусов

$\dfrac{BC}{\sin \angle A}=2R~~~\Rightarrow~~~ R=\dfrac{BC}{2\sin 60^\circ}=\dfrac{2\sqrt{7}}{\sqrt{3}}=\boxed{\dfrac{2\sqrt{21}}{3}}$

Площадь треугольника ABC: $S=\dfrac{1}{2}\cdot AB\cdot AC\sin \angle A=\dfrac{1}{2}\cdot4\cdot 6\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}$ кв. ед.

С другой стороны $S=\dfrac{Pr}{2}$ отсюда и выразим радиус вписанной окружности

$r=\dfrac{2S}{P}=\dfrac{2\cdot 6\sqrt{3}}{4+6+2\sqrt{7}}=\boxed{\dfrac{6\sqrt{3}}{5+\sqrt{7}}}$

Answer 2

Для решения этой задачи, нам понадобится применить законы синусов и косинусов.

Известно, что сторона АВ равна 4 и сторона АС равна 6. Угол А равен 60°.

1. Найдем сторону BC с использованием закона косинусов: BC² = AB² + AC² - 2 * AB * AC * cos(A) BC² = 4² + 6² - 2 * 4 * 6 * cos(60°) BC² = 16 + 36 - 48 * cos(60°) BC² = 52 - 48 * 0.5 BC² = 52 - 24 BC² = 28 BC = √28 BC ≈ 5.29

2. Теперь, найдем радиус описанной окружности (R), используя следующую формулу: R = (AB * AC * BC) / (4 * П * Площадь(ABC))

Площадь(ABC) = (1/2) * AB * AC * sin(A) Площадь(ABC) = (1/2) * 4 * 6 * sin(60°) Площадь(ABC) = (1/2) * 4 * 6 * √3/2 Площадь(ABC) = 12 * √3/2 Площадь(ABC) = 6√3

R = (4 * 6 * √28) / (4 * П * 6√3) R = (√28) / П R ≈ 1.66

3. Найдем радиус вписанной окружности (r), используя следующую формулу: r = Площадь(ABC) / (полупериметр(ABC)) полупериметр(ABC) = (AB + AC + BC) / 2 полупериметр(ABC) = (4 + 6 + √28) / 2 полупериметр(ABC) = (10 + √28) / 2

r = (6√3) / ((10 + √28) / 2) r = 12√3 / (10 + √28) r ≈ 1.48

Таким образом, для треугольника ABC с данными сторонами и углом, радиус описанной окружности (R) примерно равен 1.66, а радиус вписанной окружности (r) примерно равен 1.48.