Question

Докажите тождество (2a+b)^3-(a-b)^2(8a+b)=27a^2b​

Answer 1

Ответ:

=a^3 - 6a^2b + 12ab^2 - 8b^3 - (a^2+2ab+b^2) (a-8b) =

=a^3 - 6 a^2b + 12ab^2 - 8b^3 - a^3 + 8a^2b - - 2a^2b+16ab^2-ab^2 + 8b^3 = 27 ab^2;

27ab^2 = 27ab^2

Answer 2

Для доказательства данного тождества, нам нужно разложить обе стороны уравнения и показать, что они равны друг другу. Давайте начнем с левой стороны:

Левая сторона: (2a + b)^3 - (a - b)^2(8a + b)

1. Разложим куб суммы (2a + b)^3: (2a + b)^3 = (2a + b)(2a + b)(2a + b) = (4a^2 + 2ab + 2ab + b^2)(2a + b) = (4a^2 + 4ab + b^2)(2a + b) = 8a^3 + 4a^2b + 2ab^2 + 4a^2b + 2ab^2 + b^3 = 8a^3 + 8a^2b + 4ab^2 + b^3

2. Разложим квадрат разности (a - b)^2: (a - b)^2 = (a - b)(a - b) = a^2 - ab - ab + b^2 = a^2 - 2ab + b^2

Теперь подставим разложенные значения обратно в левую сторону уравнения:

Левая сторона = (2a + b)^3 - (a - b)^2(8a + b) = (8a^3 + 8a^2b + 4ab^2 + b^3) - (a^2 - 2ab + b^2)(8a + b)

Раскроем скобки во втором слагаемом:

Левая сторона = 8a^3 + 8a^2b + 4ab^2 + b^3 - (8a^3 + 2a^2b - 8ab^2 + b^3)

Обратим внимание на следующее: у нас есть слагаемые b^3 и -b^3, они будут взаимоуничтожены. Также есть слагаемые 8a^3 и -8a^3, которые также взаимоуничтожатся.

Левая сторона = 8a^2b + 4ab^2 + 2a^2b + 8ab^2 = 10a^2b + 12ab^2

Теперь давайте перейдем к правой стороне уравнения:

Правая сторона = 27a^2b

Теперь сравним левую и правую стороны:

Левая сторона = 10a^2b + 12ab^2 Правая сторона = 27a^2b

Так как левая сторона равна 10a^2b + 12ab^2, а правая сторона равна 27a^2b, то тождество (2a + b)^3 - (a - b)^2(8a + b) = 27a^2b доказано.